Аппроксимация. Метод наименьших квадратов

Наиболее распространенным методом аппроксимации экспериментальных данных является метод наименьших квадратов.

Пусть заданы значения функции y_i, соответствующие значениям x_i, i = 1, 2, …, n. Предположим, что аппроксимирующая функция g (x) зависит от m параметров g = g (x, a ₁, a ₂, …, a_m), m ≤ n. При точечной квадратичной аппроксимации параметры a ₁, a ₂, …, a_m аппроксимирующей функции определяются из условия минимума суммы квадратов отклонений значений аппроксимирующей функции от заданных значений функции:

. (4.51)

Вид функции g (x, a ₁, a ₂, …, a_m) определяется особенностями решаемой задачи, например, физическими соображениями, если проводится аппроксимация результатов физического эксперимента.

Еслиаппроксимирующая функция линейно зависит от параметров, то метод наименьших квадратов приводит задачу её определения к системе линейных уравнений.

Наиболее часто применяются аппроксимации прямой линией (линейная регрессия), полиномом (полиномиальная регрессия), линейной комбинацией линейно независимых функций.

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для определения параметров функции g (x, a ₁, a ₂, …, a_m) при аппроксимации линейной комбинацией линейно независимых функций

. (4.52)

Тогда условие (4.51) имеет вид

. (4.53)

Минимум квадратичной функции существует, необходимым условием его существования является равенство нулю частных производных

(4.54)

Из (4.54) получим систему уравнений метода наименьших квадратов

(4.55)

При линейной аппроксимирующей функции

(4.56)

система (4.55) имеет вид

(4.57)

Аналогично можно получить систему уравнений для определения параметров полиномиальной регрессии

. (4.58)

В этом случае получим систему из m + 1 уравнения с m + 1 неизвестным

(4.59)

Если зависимость аппроксимирующей функции от параметров нелинейна, то для определения параметров приходится решать нелинейные задачи. Иногда удается с помощью преобразований вместо функции с нелинейной зависимостью от параметров рассматривать функцию с линейной зависимостью от параметров. Приведем два типичных примера таких случаев.

Пример 4.7. Найти параметры показательной функции φ(t) = a e ^bt по заданной таблице значений (t_i, φ _i), i = 1, 2, …, n.

Таблица 4.7

ti
φ i		1,2	1,4	1,5	1,7	1,8		2,1	2,5

Решение. Прологарифмируем обе части равенства φ(t) = a e ^bt. Получим

ln φ(t) = ln a + bt.

Обозначим

y_i = ln φ(t_i) = ln φ _i, x_i = t_i, a ₀ = ln a, a ₁ = b.

Составим расчетную таблицу (табл. 4.8) метода наименьших квадратов в программе Excel.

Таблица 4.8

	A	B	C	D	E	F	G
	ti	φi	xi	xi^2	yi	xiyi
		1,2			0,182322	0,364643
		1,4			0,336472	1,009417
		1,5			0,405465	1,62186
		1,7			0,530628	2,653141
		1,8			0,587787	3,52672
					0,693147	4,85203
		2,1			0,741937	5,935499
		2,5			0,916291	8,246617
					1,098612	10,98612
		Сумма=			5,492661	39,19605
			5,492661	a 0 =	–0,04983	a =	0,951393
			39,19605	a 1 =	0,108926	b =	0,108926

Столбцы A 2: A 11, B 2: B 11 содержат исходные данные.

В ячейку C 2 вводим формулу =A2;

в ячейку D 2 вводим формулу =C2^2;

в ячейку E 2 вводим формулу =LN(B2);

в ячейку F 2 вводим формулу =C2*E2.

Выделим C 2: F 2 и маркером заполнения протянем вниз до строки 11.

В ячейку C 12 вводим формулу =СУММ(C2:C11). Выделим C 12 и маркером заполнения протянем вправо до F 12. В ячейках C 12: F 12 получим суммы, являющиеся коэффициентами системы (4.57):

(4.60)

Решим систему (4.60). Запишем коэффициенты и правые части (4.60) в ячейках A 13: C 14 (см. табл.4.8). Выделим ячейки E 13: E 14 и введем формулу

=МУМНОЖ(МОБР(A13:B14);C13:C14)

и удерживая нажатыми клавиши Ctrl и Shift, нажмем Enter. В ячейках E 13: E 14 получим значения a ₀ и a ₁, а затем в ячейках G 13, G 14 находим параметры a и b по формулам = exp(E 13), = E 14.

Результатом является аппроксимирующая функция

y = 0,951393e^{0,108926 x}.

Чтобы проверить полученные результаты выделим диапазон A 2: B 11, построим диаграмму «Точечная» и выполним команду меню «Диаграмма — Добавить линию тренда — Экспоненциальная», во вкладке «Параметры» отметим «показывать уравнение на диаграмме» и «поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2)».

Величина R ² показывает степень соответствия аппроксимирующей функции экспериментальным точкам. Формулы для её вычисления можно найти в учебниках по математической статистике.

На рис. 4.2 приведены график функции и уравнение y = 0,9514e^{0,1089 x}, полученные в программе Excel. Уравнения практически совпадают, что говорит о правильности наших расчетов.

Рис.4.2

Пример 4.8. Найти параметры степенной функции φ(t) = at^b по заданной таблице 4.7 значений (t_i, φ _i), i = 1, 2, …, n.

Решение. Аналогично примеру 4.7, прологарифмируем обе части равенства φ(t) = at^b:

ln φ(t) = ln a + b ln t.

Введем обозначение

y_i = ln φ(t_i), x_i = ln t_i, a ₀ = ln a, a ₁ = b.

Решаем систему (4.57) относительно a ₀ и a ₁, а затем находим параметры a и b по формулам a = exp(a ₀), b = a ₁. Предлагается самостоятельно провести расчеты и проверить результаты как в предыдущем примере.

Пример 4.9. Подобрать для таблицы 4.7 в программе Excel наиболее подходящую аппроксимирующую функцию из четырех (линейная, экспоненциальная, степенная, логарифмическая), используя значение величины достоверности аппроксимации R ² (чем ближе к 1 значение R ², тем выше достоверность аппроксимации).

Указание. Выделить диапазон A 2: B 11, построить диаграмму «Точечная» и затем поочередно для каждой функции выполнить команду меню «Диаграмма — Добавить линию тренда — …», запоминая величину достоверности R ².

Пример 4.10. В точках отрезка [– l, l ] заданы значения функции y (t). Предполагается, что y (t) периодическая с периодом 2 l нечетная функция. Определить методом наименьших квадратов коэффициенты линейной комбинации φ(t) = a ₁sin(π t / l) + a ₂sin(2π t / l) + a ₃sin(3π t / l) по табличным значениям:

Таблица 4.9

t	–2	-1,5	-1	-0,5		0,5		1,5
y		-1	-2	-1

Построить график этой функции с шагом 0,2.

Решение в программе Excel. Обозначим x_i = π t_i / l. Тогда система (4.55) для данного примера имеет вид:

Учитывая, что l = 2, n = 8, составим расчетную таблицу. Так как таблица большая, мы её здесь не приводим, но дадим подробное пояснение к её построению.

1. В следующих таблицах показаны значения и формулы, вводимые в первые две строки таблицы, т.е. в диапазон ячеек A 1: O 2:

	A	B	C	D	E	F
	t	x	y	sinx	sin2x	sin3x
	-2	=A2*3,142/2		=SIN(B2)	=SIN(2*B2)	=SIN(3*B2)

	G	H	I	J
	sinx*sinx	sinx*sin2x	sinx*sin3x	sin2x*sin2x
	=D2*D2	=E2*D2	=F2*D2	=E2*E2

	K	L	M	N	O
	sin2x*sin3x	sin3x*sin3x	y*sinx	y*sin2x	y*sin3x
	=E2*F2	=F2*F2	=C2*D2	=C2*E2	=C2*F2

Выделим диапазон A 2: O 2 и протянем маркером заполнения вниз, до 10-й строки.

2. Введем в столбец A 2: A 10 значения переменной t, а в столбец
C 2: C 10 значения переменной y.

3. Просуммируем столбцы произведений. Для этого в ячейку G 11 введем формулу =СУММ(G2:G10). Выделим ячейку G 11 и протянем маркером заполнения вправо до ячейки O 11.

4. Теперь составим матрицу коэффициентов и правых частей системы нормальных уравнений метода наименьших квадратов (4.55) в диапазоне ячеек G 13: J 15, т.е. запишем в этих ячейках следующие формулы:

	G	H	I	J	K
	=G11	=H11	=I11	=M11	a1=
	=H11	=I11	=J11	=N11	a2=
	=I11	=J11	=K11	=O11	a3=

5. Решим систему уравнений. Для этого выделим ячейки L 13: L 15, введем формулу =МУМНОЖ(МОБР(G13:I15);J13:J15) и нажмем комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter. В ячейках L 13: L 15 получим значения коэффициентов:

	K	L
	a1=	1,707
	a2=	-0,293
	a3=	0,000

Аппроксимирующая функция имеет вид:

φ(t) = 1,707sin(π t / l) – 0,293sin(2π t / l) + 0∙sin(3π t / l), l = 2.

6. Построим графики. Запишем в диапазоне A 19: A 27 значения переменной t, а в диапазоне D 19: D 27 — значения переменной y. В ячейках B 19, C 19 запишем соответственно формулы

=A19*3,1415926/2, =$L$13*SIN(B19)+$L$14*SIN(2*B19)+$L$15*SIN(3*B19).

Выделим ячейки B 19: C 19 и протянем маркером заполнения вниз, до строки 27.

	A	B	C	D
	t	x	F(x)	yi
	-2	-3,14	-0
	-1,5	-2,36	-1,5	-1
	-1	-1,57	-1,7	-2
	-0,5	-0,79	-0,9	-1
	0,5	0,785	0,91
		1,571	1,71
	1,5	2,356	1,5
		3,142

Выделим диапазон A 19: A 27, удерживая нажатой клавишу Ctrl, выделим диапазон C 19: D 27(Должны быть выделены три несмежных столбца). С помощью меню «Диаграмма — Точечная» построим диаграмму (рис. 4.3).

Рис.4.3.

Из рис.4.3 видно, что аппроксимирующая функция приближенно равна искомой функции.

Дата добавления: 2015-07-20