Остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа

Для анализа погрешности интерполяции используется остаточный член интерполяционного многочлена Лагранжа

,.19)

где ξ принадлежит отрезку [ a, b ], который определяется числами

a = min(x ₀, x ₁, …, x_n, x), b = max(x ₀, x ₁, …, x_n, x). (4.20)

Формула (4.19) выводится с помощью функции

φ(x) = f (x) – L_n (x) – K П _{n + 1}(x),

где параметр K выбирается из условия φ(x) = 0:

K = (f (x) – L_n (x))/П _{n + 1}(x).

Пусть функция f (x) имеет непрерывную производную (n + 1)-го порядка. Тогда φ(x) имеет n + 2 корня x ₀, x ₁, …, x_n, x и по теореме Ролля производная имеет n + 1 корень, вторая производная равна нулю в n точках, а производная (n + 1)-го порядка равна нулю в некоторой точке ξ из отрезка [ a, b ], который определяется условиями (4.20). Далее

φ^{( n + 1)}(x) = f ^{( n + 1)}(x) – K (n + 1)!,

так как производная (n + 1)-го порядка от многочлена L_n (x) равна нулю, а у многочлена П _{n + 1}(x) старший член равен x ^{n + 1} и производная (n + 1)-го порядка многочлена П _{n + 1}(x) равна (n + 1)!.

Из условия φ^{( n + 1)}(ξ) = f ^{( n + 1)}(ξ) – K (n + 1)! = 0 следует

K = f ^{( n + 1)}(ξ)/(n + 1)!,

а из равенства φ(x) = f (x) – L_n (x) – K П _{n + 1}(x) = 0 следует (4.19).

Дата добавления: 2015-07-20