Интерполяция

Под задачей интерполирования или интерполяции принято понимать следующую задачу:

Пусть известны значения y_i функции f (x) в точках x_i, i = 0, 1, … n,
называемых узлами интерполяции. Требуется найти такую функцию F (x) (интерполирующая функция), значения которой в узлах интерполяции совпадают со значениями f (x):

F (x_i) = y_i, i = 0, 1, … n. (4.1)

Предполагается, что интерполирующая функция F (x) зависит от конечного числа параметров, которые находят из условий (4.1). Если зависимость интерполирующей функции F (x) от параметров линейна, то говорят о линейной интерполяции, в противном случае — о нелинейной интерполяции. В последнем случае нахождение парамет­ров из системы (4.1) может быть трудной задачей.

Формула y = F (x) называется интерполяционной и используется для вычисления значения функции f (x) в точке x, не совпадающей с узлами интерполяции. Эта операция называется интерполированием (интерполяцией) функции. При этом, если точка x не принадлежит отрезку
[ a, b ], a = min(x ₀, x ₁, …, x_n), b = max(x ₀, x ₁, …, x_n), то говорят об экстраполировании функции.

Часто в качестве интерполирующей функции используется многочлен n -го порядка P_n (x) (интерполяционный многочлен), удовлетворяющий условию

y_i = P_n (x_i), i = 0, 1, … n. (4.2)

Так как многочлен n -го порядка определяется своими коэффициентами,

то число параметров равно n + 1 и условия (4.2) представляют систему линейных уравнений:

(4.3)

Определителем системы (4.3) является определитель Вандермонда

(4.4)

который отличен от нуля, если среди узлов интерполяции нет совпадающих. Отсюда следует, что задача построения интерполяционного многочлена разрешима, и существует единственный интерполяционный многочлен, удовлетворяющий условиям (4.2). Как увидим ниже, формы записи интерполяционного многочлена могут быть разными.

Отметим, что задача отыскания произвольного многочлена, удовлетворяющего условиям (4.2) некорректна. Если степень многочлена меньше n, то такого многочлена не существует, но если степень многочлена больше n, то таких многочленов бесконечно много.

Дата добавления: 2015-07-20