Задачи для самостоятельного решения. 1. Заданы таблично значения yi функции f(x) в точках xi

1. Заданы таблично значения y_i функции f (x) в точках x_i. Найти значение функции f (x) при x = x ^*. Решить задачу с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа 3-го порядка. Варианты исходных данных приведены в таблице 4.11.

Таблица 4.11

№ 1

№ 2

№ 3

№ 4

№ 5

№ 6

№ 7

№ 8

№ 9

№ 10

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x^* = 1

x^* = 2

x^* = 3

x^* = 1

x^* = 2

x^* = 3

x^* = 1

x^* = 2

x^* = 3

x^* = 1

№ 11

№ 12

№ 13

№ 14

№ 15

№ 16

№ 17

№ 18

№ 19

№ 20

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x^* = 4

x^* = 5

x^* = 6

x^* = 4

x^* = 5

x^* = 6

x^* = 4

x^* = 5

x^* = 6

x^* = 4

2. Заданы таблично значения y_i функции f (x) в узлах x_i, получающихся делением отрезка [1; 2] на пять частей. Найти значение функции f (x) при x = 1,1 с помощью первой интерполяционной формулы Ньютона. Варианты исходных данных приведены в таблице 4.12.

Таблица 4.12

Варианты табличных значений yi функции f (x)
xi
1,0	1,0	1,1	0,9	0,9	0,8	1,1	1,0	1,2	1,2	1,1
1,2	2,1	2,2	2,0	1,9	2,0	2,2	2,1	1,8	2,0	1,9
1,4	2,9	3,2	3,0	3,2	2,9	3,2	3,1	3,2	3,0	3,2
1,6	3,8	4,2	3,8	3,8	4,2	4,2	3,8	4,1	3,8	3,8
1,8	5,2	5,2	5,1	5,1	5,2	5,1	5,2	5,2	5,0	4,9
2,0	5,9	6,0	5,8	6,1	5,8	5,9	6,2	6,1	6,1	5,8
Варианты табличных значений yi функции f (x)
xi
1,0	0,8	0,8	0,8	1,1	0,8	1,0	0,9	1,2	1,2	1,2
1,2	2,0	2,2	1,8	2,2	1,9	1,8	2,0	2,2	2,2	2,0
1,4	2,8	2,9	2,9	3,0	3,2	2,8	2,8	3,0	3,2	3,2
1,6	4,0	4,0	4,0	4,1	4,1	3,8	3,8	4,0	3,8	4,2
1,8	5,2	5,2	4,9	4,9	5,0	4,8	4,9	4,8	4,8	4,8
2,0	6,0	5,8	6,1	5,9	6,0	5,8	6,2	5,8	6,0	6,1

3. Заданы таблично значения y_i функции f (x) в узлах x_i. Найти значение функции f (x) при x = 1,9 с помощью второй интерполяционной формулы Ньютона. Варианты исходных данных приведены в таблице 4.12.

4. Решить задачу 2 с помощью кубического сплайна.

5. Решить задачу 3 с помощью интерполяции кусочно-линейной функцией, график которой проходит через данные точки. Построить этот график.

Указание. Определить отрезок [ x_{i – 1}, x_i ], содержащий точку x ^* и вычислить f (x) с помощью уравнения прямой, проходящей через две заданные точки (x_{i – 1}, y_{i – 1}) и (x_i, y_i):

6. Решить задачу 3 с помощью аппроксимации линейной функцией. Построить график.

7. Для функции y = f (x) на отрезке [ a, b ] построить интерполяционный многочлен Чебышева 3-го порядка, если f (x) нечетная функция или 4-го порядка, если f (x) четная функция. Построить графики данной функции и многочлена Чебышева. Варианты функций f (x) и отрезков [ a, b ] приведены в табл. 4.13.

Таблица 4.13

№ варианта	f (x)	[ a, b ]	№ варианта	f (x)	[ a, b ]
	cos^2(π x)	[– 1, 1]		2sin(π x)	[– 1, 1]
	2sin(π x /2)	[– 2, 2]		cos x /(1 + x ^2)	[– 3, 3]
	x ^3/27	[– 3, 3]		x ^3/(1 + x ^2)	[– 2, 2]
	x ^4/16	[– 2, 2]		(cos x ^3)/(1 + x ^2)	[– 2, 2]
	cos(π x)	[– 3, 3]		cos(π x)	[– 1, 1]
	sin(π x)	[– 1, 1]		2sin(π x /3)	[– 3, 3]
	x ^4/(1 + x ^2)	[– 2, 2]		x /(1 + x ^2)	[– 2, 2]
	(sin x)/(1 + x ^2)	[– 3, 3]		x ^2/(1 + x ^2)	[– 2, 2]
	2 x /(1 + x ^2)	[– 4, 4]		cos(x /5)	[– 5, 5]
	cos^3(π x)	[– 1, 1]		cos(π x)	[– 5, 5]

8. Для функции y = f (x) построить приближение многочленом g (x), равным отрезку из трех первых членов разложения в ряд Тейлора в окрестности точки x ₀ = 0. Построить таблицу значений и графики функций f (x) и g (x) на отрезке [–1, 1] в одной системе координат. Сравнить полученные графики. Варианты функций f (x) приведены в табл. 4.14.

Таблица 4.14

№	f (x)	№	f (x)
	cos(x ^2)		arcsin(x /2)
	2sin(x /2)		arctg(x /2)
	sin(x /10)		5/(1 + x ^2)
	cos(x ^2/16)		cos x ^3
	cos(x)/10		cos(π x)
	sin(x)/10		2sin(π x /3)
	ln(1 + x ^2)		e^4 x
	(1 + x)^1,5		ln(1 + x ^3)
	(1 + x)^2,5		cos(x /5)
	e^2 x		cos(x /10)

Указание. Использовать известные разложения в ряд Тейлора в окрестности точки x ₀ = 0 (ряд Маклорена):

1) для любого x.

2) для любого x.

3) для любого x.

4) –1 < x ≤ 1.

5) –1 < x < 1.

6) –1 < x < 1.

7) –1 < x < 1.

8) –1 < x ≤ 1.

9) –1 < x ≤ 1.

9. Численность популяции живых организмов N (t_i) в заданные моменты времени t_i известна. Предполагая, что функция N (t) имеет вид ae^bt, найти методом наименьших квадратов параметры a, b и вычислить прогнозное значение численности на момент времени t^*.

Таблица 4.15

№ 1

№ 2

№ 3

№ 4

№ 5

№ 6

№ 7

№ 8

№ 9

№ 10

t

N

t

N

t

N

t

N

t

N

t

N

t

N

t

N

t

N

t

N

t^* = 6

t^* = 6

t^* = 6

t^* = 6

t^* = 7

t^* = 6

t^* = 6

t^* = 7

t^* = 6

t^* = 7

№ 11

№ 12

№ 13

№ 14

№ 15

№ 16

№ 17

№ 18

№ 19

№ 20

t

N

t

N

t

N

t

N

t

N

t

N

t

N

t

N

t

N

t

N

t^* = 6

t^* = 7

t^* = 8

t^* = 6

t^* = 7

t^* = 8

t^* = 6

t^* = 7

t^* = 8

t^* = 6

10. Определить методом наименьших квадратов коэффициенты линейной комбинации тригонометрических функций по табличным значениям
(t_i, y_i). Если по заданным значениям функции можно предположить (приблизительно), что y (t) нечетная, то применить в качестве аппроксимирующей функции F (t) = a ₁sin t + a ₂sin2 t + a ₃sin3 t, а если y (t) четная, взять в качестве аппроксимирующей функции F (t) = a ₁cos t + a ₂cos2 t + a ₃cos3 t. Построить точки (t_i, y_i) и график функции F (t) на отрезке [–3, 3] с шагом 0,5. Варианты заданий приведены в таблицах 4.16 — 4.18.

Таблица 4.16

№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	№ 5	№ 6	№ 7
t	y	t	y	t	y	t	y	t	y	t	y	t	y
-2,0	-0,2	-2,0	-5,1	-2,0	-0,1	-2,0	-3,8	-2,0	0,0	-2,0	-13,1	-2,0	0,2
-1,5	-3,4	-1,5	-3,6	-1,5	-2,9	-1,5	-3,0	-1,5	-2,1	-1,5	-9,2	-1,5	-1,3
-1,0	-5,2	-1,0	0,1	-1,0	-3,8	-1,0	-0,2	-1,0	-3,2	-1,0	-0,2	-1,0	-1,8
-0,5	-3,7	-0,5	3,3	-0,5	-2,7	-0,5	3,0	-0,5	-1,9	-0,5	9,3	-0,5	-1,7
0,0	0,0	0,0	4,9	0,0	-0,2	0,0	4,0	0,0	0,1	0,0	13,0	0,0	-0,1
0,5	3,7	0,5	3,6	0,5	2,7	0,5	2,8	0,5	2,3	0,5	9,2	0,5	1,3
1,0	4,9	1,0	0,2	1,0	4,1	1,0	-0,1	1,0	3,2	1,0	0,1	1,0	1,8
1,5	3,4	1,5	-3,6	1,5	3,0	1,5	-2,6	1,5	2,0	1,5	-9,1	1,5	1,2
2,0	0,2	2,0	-5,0	2,0	0,0	2,0	-4,2	2,0	-0,2	2,0	-13,0	2,0	0,1

Таблица 4.17

№ 8	№ 9	№ 10	№ 11	№ 12	№ 13	№ 14
t	y	t	y	t	y	t	y	t	y	t	y	t	y
-2,0	0,0	-2,0	-4,8	-2,0	-0,1	-2,0	-4,2	-2,0	0,1	-2,0	-13,1	-2,0	-0,1
-1,5	-3,6	-1,5	-3,4	-1,5	-2,9	-1,5	-2,6	-1,5	-1,9	-1,5	-9,4	-1,5	-1,2
-1,0	-4,9	-1,0	-0,2	-1,0	-4,2	-1,0	-0,1	-1,0	-2,8	-1,0	0,0	-1,0	-1,8
-0,5	-3,4	-0,5	3,7	-0,5	-2,9	-0,5	2,7	-0,5	-1,9	-0,5	9,0	-0,5	-1,4
0,0	-0,1	0,0	5,1	0,0	-0,2	0,0	3,8	0,0	-0,1	0,0	13,2	0,0	0,1
0,5	3,4	0,5	3,6	0,5	2,7	0,5	3,1	0,5	2,1	0,5	9,0	0,5	1,2
1,0	4,9	1,0	-0,1	1,0	3,9	1,0	-0,1	1,0	3,1	1,0	0,2	1,0	1,8
1,5	3,5	1,5	-3,4	1,5	2,6	1,5	-2,8	1,5	2,0	1,5	-9,4	1,5	1,6
2,0	0,1	2,0	-5,2	2,0	0,2	2,0	-4,1	2,0	0,1	2,0	-13,0	2,0	-0,1

Таблица 4.18

№ 15	№ 16	№ 17	№ 18	№ 19	№ 20	№ 21
t	y	t	y	t	y	t	y	t	y	t	y	t	y
-2,0	-0,2	-2,0	-4,9	-2,0	-0,1	-2,0	-4,1	-2,0	-0,1	-2,0	-13,2	-2,0	0,1
-1,5	-3,5	-1,5	-3,5	-1,5	-2,9	-1,5	-3,0	-1,5	-2,1	-1,5	-9,2	-1,5	-1,3
-1,0	-5,2	-1,0	0,0	-1,0	-4,2	-1,0	-0,1	-1,0	-3,2	-1,0	0,1	-1,0	-2,2
-0,5	-3,5	-0,5	3,5	-0,5	-2,7	-0,5	2,9	-0,5	-2,3	-0,5	9,4	-0,5	-1,3
0,0	-0,2	0,0	4,9	0,0	0,1	0,0	4,0	0,0	-0,1	0,0	13,0	0,0	-0,2
0,5	3,3	0,5	3,6	0,5	2,6	0,5	2,9	0,5	2,2	0,5	9,3	0,5	1,3
1,0	4,9	1,0	0,0	1,0	4,1	1,0	0,2	1,0	2,8	1,0	-0,1	1,0	2,1
1,5	3,3	1,5	-3,4	1,5	2,9	1,5	-2,6	1,5	2,1	1,5	-9,0	1,5	1,4
2,0	-0,2	2,0	-4,9	2,0	0,0	2,0	-4,0	2,0	-0,2	2,0	-13,0	2,0	0,2

Дата добавления: 2015-07-20