Равномерное приближение функции. Многочлены Чебышева

Определение 4.1. Многочлен P_n (x) равномерно приближает на отрезке [ a, b ] функцию f (x) с точностью до ε, если выполняется неравенство

. (4.21)

Приведем без доказательства теорему Вейерштрасса.

Теорема 4.1 (Вейерштрасс). Если функция f (x) непрерывна на отрезке
[ a, b ], то для любого ε > 0 найдется многочлен P_n (x) достаточно высокой степени n, который равномерно приближает на отрезке [ a, b ] функцию f (x) с точностью до ε, т.е. выполняется (4.21).

Определение 4.2. Многочлен P_n (x) называется многочленом наилучшего приближения для функции f (x) на отрезке [ a, b ], если для любого многочлена Q_n (x) степени n выполняется неравенство

. (4.22)

Многочлены Чебышева определяются рекуррентными формулами

T ₀(x) = 1, T ₁(x) = x, T_{n + 1}(x) = 2 xT_n (x) – T_{n – 1}(x) при n > 1. (4.23)

Выпишем многочлены Чебышева T_n (x) для n = 2, 3, 4, 5:

T ₂(x) = 2 xT ₁(x) – T ₀ = 2 x ² – 1, T ₃(x) = 2 xT ₂(x) – T ₁ = 4 x ³ – 3 x,

T ₄(x) = 8 x ⁴ – 8 x ² + 1, T ₅(x) = 16 x ⁵ – 20 x ³ + 5 x.

На рис.4.1 представлены графики многочленов Чебышева T_n (x) для
n = 0, 1, 2, 3 на отрезке [–1; 1].

Рис. 4.1

Старший коэффициент многочлена T_n (x), т.е. коэффициент при xⁿ, равен 2 ^{n – 1}.

Справедливо представление многочленов Чебышева через тригонометрические функции

T_n (x) = cos(n arсcos x), при n ≥ 0. (4.24)

Поэтому

| T_n (x)| ≤ 1 для | x | ≤ 1. (4.25)

Корни многочлена Чебышева принадлежат отрезку [–1; 1]:

(4.26)

Многочлены Чебышева T_n (x) с четными индексами являются четными функциями, а с нечетными индексами — нечетными функциями.

Многочлены Чебышева T_n (x) обладают следующим замечательным свойством. Если умножить T_n (x) на 2^{1 – n}, то получится многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [–1; 1].

Теорема 4.2. Если P_n (x) произвольный многочлен степени n со старшим коэффициентом 1, то справедливо неравенство

, (4.27)

где .

Отметим здесь, что в некоторых учебниках по численным методам [8] многочленом Чебышева называется многочлен , т.е. многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [–1; 1].

Поясним смысл теоремы 4.1 на примерах.

Если n = 2, то теорема 4.1 утверждает, что наибольшее значение любой квадратной функции вида x ² + px + q на отрезке [–1; 1] не меньше 2^{1 – 2} = 0,5.

Наибольшее значение любого многочлена вида x ³ + px ² + qx + r на отрезке [–1; 1] не меньше 2^{1 – 3} = 0,25.

Среди всех квадратных функций вида x ² + px + q наименее уклоняющимся от нуля на отрезке [–1; 1] многочленом является функция

2^{1 – 2} T ₂(x) = x ² – 0,5.

Среди всех многочленов вида x ³ + px ² + qx + r наименее уклоняющимся от нуля на отрезке [–1; 1] является многочлен

2^{1 – 3} T ₃(x) = (4 x ³ – 3 x)/4 = x ³ – 0,75 x.

Для произвольного отрезка [ a, b ] многочлен со старшим коэффициентом 1, наименее уклоняющийся от нуля, получается из заменой

.

Этот многочлен имеет вид

. (4.28)

Корнями многочлена являются точки

. (4.29)

Многочлены Чебышева используются для минимизации погрешности интерполяционной формулы за счет оптимального выбора узлов интерполяции. В формуле остаточного члена (4.19) у многочлена П _{n + 1}(x) старший коэффициент равен 1. Для минимизации погрешности интерполяционной формулы для функции f (x) на отрезке [ a, b ] нужно взять в качестве узлов интерполяции точки

. (4.30)

являющиеся корнями многочлена . Тогда погрешность интерполяции оценивается неравенством

. (4.31)

Пример 4.5. Построить для функции f (x) = sin(π x) на отрезке [0; 2] наилучший интерполяционный многочлен 3-го порядка. Построить графики многочлена и данной функции в одной системе координат.

Решение. Наилучший интерполяционный многочлен 3-го порядка мы получим, если в качестве узлов интерполяции точки выберем точки по формуле (4.30):

Для вычисления многочлена воспользуемся формулой Лагранжа и аналогично примеру 4.4 составим формулы. В таблице 4.7 приведены расчетные формулы.

Табл. 4.7.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
	x=
	i	xi	yi						Di	yi/Di
		0,076	0,237	=x-$B3	=B3-B$4	=B3-B$5	=B3-B$6		=ПРОИЗВЕД (D3:G3)	=C3/I3
		0,617	0,934	=B4-B$3	=x-$B4	=B4-B$5	=B4-B$6		=ПРОИЗВЕД (D4:G4)	=C4/I4
		1,383	-0,934	=B5-B$3	=B5-B$4	=x-$B5	=B5-B$6		=ПРОИЗВЕД (D5:G5)	=C5/I5
		1,924	-0,237	=B6-B$3	=B6-B$4	=B6-B$5	=x-$B6		=ПРОИЗВЕД (D6:G6)	=C6/I6
										=СУММ (J3:J6)
								=D3*E4 *F5*G6		=H9*J8

Поочередно подставляя в ячейку B 1 значения 0; 0,2; 0,4; …, 2 в ячейке J 9 получим значения многочлена L ₃(x). Вычислим в тех же точках sin(π x). Результаты приведены в таблице 4.8. На рис.4.2 приведены графики многочлена L ₃(x) и данной функции sin(π x).

Табл. 4.8

x	L 3(x)	sin(π x)
	-0,195
0,2	0,733	0,587785
0,4	1,068	0,951057
0,6	0,959	0,951057
0,8	0,554	0,587785
		5,36E-08
1,2	-0,554	-0,58779
1,4	-0,959	-0,95106
1,6	-1,068	-0,95106
1,8	-0,733	-0,58779
	0,195	-1,1E-07

Рис. 4.2

Как видно из рис. 4.2, графики хорошо согласуются. Это объясняется тем, что кубическая парабола учитывает симметрию синусоиды на данном участке. Очевидно, что если бы мы выбрали четный многочлен L ₂(x) или L ₄(x), то такого приближения не получили.

Дата добавления: 2015-07-20