Интерполяция и экстраполяция

Интерполяция — способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

В научных и инженерных расчетах часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путем или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Например, известны некоторые значения функции — физической величины, замеренные через 1 ч. Необходимо найти значения в промежутках через 30 мин.

Интерполяцией называют такую разновидность аппроксима­ции, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция тишком сложна для производительных вычислений, можно по­пытаться вычислить ее значение в нескольких точках, а по ним построить, т. е. интерполировать, более простую функцию. Разу­меется, использование упрощенной функции не позволяет полу­чить такие же точные результаты, какие давала бы первоначаль­ная функция, но в некоторых классах задач достигнутый выиг­рыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Наиболее часто встречающимся видом точечной аппрокси­мации является интерполяция. Пусть задан дискретный набор то­чек x_i (i =0, 1,..., п), называемых узлами интерполяции, причем среди этих точек нет совпадающих, а также значения функции у_i в этих точках. Требуется построить функцию g(x), проходящую через все заданные узлы. Таким образом, критерием близости функции является g(x_i)=y_i. В качестве функции g(x) обычно (набирается полином, который называют интерполяционным полиномом. В том случае, если полином един для всей области интерполяции, говорят, что интерполяция глобальная.

В тех случаях, когда между различными узлами полиномы различны, говорят о кусочной или локальной интерполяции. Найдя интерполяционный полином, можно вычислить значения функ­ции f(x) между узлами (провести интерполяцию в узком смысле слова), а также определить значение функции f(x) даже за пре­делами заданного интервала (провести экстраполяцию ).

Пусть имеется п значений х_i, каждому из которых соответст­вует свое значение у_i. Требуется найти такую функцию F, что:

F(x_i) =у_i, i=0, 1,..., п.

При этом:

• х_i называют узлами интерполяции;

• пары (х_i, у_i) называют точками данных;

• разницу между соседними значениями (х_i – х_i-1) называют шагом;

• функцию F(x) — интерполирующей функцией или интерполянтом.

Задача интерполирования состоит в том, чтобы по значениям функции в некоторых точках восстановить ее значения в остальных точках отрезка. Функция F называется интерполирую щей, точки х₀, х₁, х₂,..., х_n — узлами интерполяции.

Будем искать функцию F ввиде многочлена степени п:

F(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 +... + а_n-1х + а_n.

Можно найти коэффициенты a_i, i=0, 1,..., п, при этом получим систему из (п + 1) уравнения с (п + 1) неизвестными

Эта система имеет единственное решение, так как по нашему предположению все х_i различны. Решая эту систему относительно неизвестных а₀, a₁,..., а_n, получим аналитическое выражение многочлена.

Описанный прием можно использовать при решении задач интерполирования, но на практике используют другие более удобные и менее трудоемкие методы.

Дата добавления: 2015-07-20