Решение. В данном случае

В данном случае

х ₀ = 2, х₁ =4, х₂ = 5, y₀ = 1, y ₁ = 15, у₂ = 28.

Отметим, что узлы не являются равноотстоя­щими (так как х ₁ – х₀ х₂ – х₁). Интерполяционный многочлен (11) при n = 2 принимает вид

Р2(х) = у₀+(х-х₀)f(х₁,х₀) + (х-х₀)(х-х₁)f(х₂,х₁,х₀). (I)

Вычислим разделенные разности:

Подставив эти значения в формулу (I), найдем искомый интерпо­ляционный многочлен Ньютона:

Р ₂(х)=1 + 7(х -2) + 2(х- 2)(х -4).

Замечание. Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим Р ₂(х) = 2 х ²-5 х + 3.

Пример 10. Найти многочлены Ньютона «интерполирования впе­ред» и «интерполирования назад» для функции, заданной таблицей

x
y

Вычислить значения функции при х = 0,5 и х = 2,5.

Решение

В данном случае

х₀ =0, х₁ = 1, х₂ = 2, х ₃ = 3; у₀ =5, у₁ = 1, у₂ = 7, у₃ = 29; узлы интерполирования являются равноотстоящими

(x₁ – x₀ = x₂ – x₁ =x₃ –x₂ = 1).

Составим таблицу конечных разностей различных порядков (таблица 3).

x	у	у	^2у	^3у
	5	-4	10	6

Числа верхней (нисходящей) строки этой таблицы (подчеркнуты одной чертой) входят множителями в коэффициенты многочлена Нью­тона для формулы «интерполирования вперед». Правая часть формулы (13) при п=3 принимает вид

Использовав условие задачи и указанные числа, найдем многочлен Ньютона для «интерполирования вперед»

Р_в(х) = 5 - 4 х + 5 х (х - 1 ) + х(х - 1 ) (х - 2 ). (II)

Числа нижней (восходящей) строки таблицы 3 (подчеркнуты двумя чертами, включая и число 6) входят в коэффициенты многочле­на Ньютона для «интерполирования назад». Правая часть формулы (14) при n = 3 имеет вид

Использовав условие задачи и числа таблицы 3, подчеркнутые двумя чертами (включая число 6), найдем многочлен Ньютона для «интерполирования назад»

Р_н(х) = 29 + 22 (х- 3 ) + 8(х- 3 )(х-2) + (х- 3 )(х- 2 )(х- 1 ). (III)

Значение функции при х = 0,5 найдем с помощью первого много­члена:

f (0,5) = Р_в (0,5)= 5 - 4_; 0,5 + 5- 0,5 (-0,5) + 0,5 (-0,5) (-1,5) = 2,125,

а значение функции при х =2,5 - с помощью второго многочлена:

f (2,5) = Р_н (2,5) = 29 + 22 (- 0,5) + 8 (- 0,5) (0,5) + (- 0,5) • 0,5 • (1,5) = 15,625.

Замечание. Найденные многочлены отличаются только формой. Рас­крывая скобки и приводя подобные члены, получаем один и тот же многочлен в обычной форме:

Р₃(х) = х³ + 2 х² -7 х + 5.

Дата добавления: 2015-07-20