Разности различных порядков. Разделенные разности

Рассмотрим значения у_i = f (x_i) функции y = f(x) в точках х_i (i = 0,1,2,...): y₀=f(x₀), y₁ = f (x₁) у₂ = f (x ₂),... Выделим все­возможные пары соседних значений: (уо,y₁), (y₁,y₂), (y₂, y₃),… и в каждом случае вычтем предыдущее значение из последующего, полу­чим разности: у₁ - у₀, y₂ – y₁, y₃ – y₂,…. Эти разности называются конечными разностями первого порядка или просто первыми разно­стями. Обозначения первых разностей:

(1)

или

Замечание. Иногда употребляются и другие обозначения, например,

Разностями второго порядка, или вторыми разностями, называют разности первых разностей и обозначают через :

(2)

Разности третьего порядка, или третьи разности, определяются и обозначаются так:

³ y ₀= ² y₁ - ² y ₀, ³ у ₁ = ² у ₂- ² у ₁, …, ³ у_n = ² у_{n +1} - ² у_n,...

Аналогично определяются последующие разности. Разности (к+ 1) -го порядка получаются из разностей к -го порядка по форму­лам

,... (3)

Таблица разностей различных порядков строится согласно схеме (таблица 1).

Таблица 1

x	y	y	^2y	^3y	^4y	^5y
x0 x1 x2 x3 x4 x5	y0 y1 y2 y3 y4 y5	y0 y1 y2 y3 y4	^2 y0 ^2 y1 ^2 y2 ^2 y3	^3 y0 ^3 y1 ^3 y2	^4 y0 ^4 y1	^5 y0

Каждое число этой таблицы (начиная с третьего столбца) является разностью двух смежных чисел столбца слева (из нижнего числа вычи­тается верхнее; разность записывается в следующем столбце между этими числами). Третий столбец содержит первые разности, четвер­тый - вторые и т. д.

Для контроля вычислений при составлении таблицы разностей пользуются следующим утверждением: сумма чисел в каждом столбце разностей равна разности крайних чисел предыдущего столбца. На­пример, у₀ + у ₁ + у₂+...+ y_n-1 + у_n =(y₁ - у₀) + (у₂ – y₁) + (у₃ -у₂)+…+(у_n – у_n-1) + (у_n+1 – у_n) = у_n+1 – y₀.

Все разности в таблице принято записывать целыми числами или в единицах младшего разряда значений функции.

Замечание. Конечные разности п-ro порядка от многочлена степени п постоянны, а конечные разности (n +1)-го порядка равны нулю. Это свой­ство дает простой способ составления таблиц многочленов. Непосредственно вычисляем значения многочлена для п + 1 значений аргумента и составляем таблицу, в которую входят разности до п-ro порядка включительно. Далее, пользуясь тем, что разности п-го порядка постоянны, продолжаем столбец разностей (п– 1) -го порядка. Для получения новых чисел этого столбца скла­дываем соответствующие разности (n -1)-го порядка с разностями п-го по­рядка. Затем последовательно продолжаем столбцы разностей (п – 2) -го, (п – 3) -го порядков и т. д. пока не получим продолжение столбца у_i = f(x_i), т. е. значений многочлена.

Разделенные разности первого порядка определяются формулами

(4)

Разделенные разности второго порядка получаются из разделенных разностей первого порядка по формулам

(5)

Аналогично определяются разделенные разности третьего порядка:

(6)

Разделенные разности n -го порядка получаются из разностей (n -1) -го порядка по формулам

(7)

В случае равноотстоящих узлов с шагом h (х_k = х ₀ + kh) разде­ленные разности различных порядков имеют вид:

(8)

(9)

(10)

Пример 8. Составить таблицу разностей различных порядков при следующих значениях х и f (х):

x₀ = -1, х₁ = -2, x₂ = 1, х₃ = 2, х₄ = 3;

y₀ = 0, у₁ = 1, у₂ =30, у₃ = -16, y₄ = -45.

Дата добавления: 2015-07-20