Существование и единственность интерполяционного многочлена

Задача аппроксимации формулируется:

Аналитическое выражение функции f(x) неизвестно. Пусть известны y_0, у_1….у_n - значение функции в точках x₀, x₁…х_п отрезка [а, в], т.е. задана табличная (сеточная) функция f(x): (*)

x	x0	x1	…	xn
y	y0	y1	…	yn

Будем решать задачу интерполирования этой

функции с помощью построения интерполяционного многочле­на n-й степени

Требуется найти многочлен (полином) степени n

(1),

такой, что бы выполнялась совокупность условий интерполяции (т.е. полином в узлах интерполяции должен принимать табличные значения)

P_n(x_i)=y_i i=1,2,..n (2)

Условия интерполяции (2) приводят к системе из п+ 1 линейных алгебраических уравнений с п + 1 неизвестными — коэффициентами многочлена:

(3)

Решая эту систему относительно неизвестных , ,… мы и получим аналитическое выражение полинома (1). Система (3) всегда будет иметь единственное решение, поскольку ее определитель, известный в алгебре как

определитель Вандермонда

составленный из попарно различных значений элементов (а различными они в данной ситуации будут всегда), не равен нулю. Отсюда и вытекают существование и единственность решения системы (3) и, следовательно, многочлена (1).

Совершенно очевидно, что интерполяционный многочлен меньшей степени, вообще говоря, не существует¹, а большей существует, но не единственен. Поэтому интерполяция стандартно производится многочленами, степень которых на единицу мень­ше числа узлов.

¹ Разумеется, может случиться, что какие-то коэффициенты в Р(x), в том числе и а₀, равны нулю.

Дата добавления: 2015-07-20