Приближенное дифференцирование, основанное на интерполяционной формуле Ньютона

Идея численного дифференцирования заключается в том, что функцию y(x), заданную в равноотстоящих точках x_i (i = 0; 1;:::; n) отрезка [a; b] с помощью значений y_i = f(x_i), приближенно заменяют интерполяционным полиномом Ньютона, построенном для системы узлов x₀; x₁;:::; x_k (), и вычисляют производные и т. д.

На практике приближенное дифференцирование применяют в основном для функций, заданных в виде таблицы.

В Scilab численное дифференцирование реализовано командой dy=diff(y[,n]), где y—значения функции y(x) в виде вектора вещественных чисел, n—порядок дифференцирования. Результат работы функции—вектор вещественных чисел dy, представляющий собой разности порядка n интерполяционного полинома Ньютона .

1. На основе первой инерполяционной формулы Ньютона

Для нахождения первой и второй производных функции функцию у, заданную в равноотстоящих точках (i = 0, 1, 2, …, n) отрезка [ a, b ] значениями , приближенно заменяют интерполяционным многочленом Ньютона, построенным для системы узлов [1]:

Раскрывая скобки и учитывая, что

получим:

Аналогично, учитывая

получим:

.

Таким же образом можно при необходимости вычислить производную функции любого порядка. Заметим, что при вычислении производных в фиксированной точке х в качестве следует брать ближайшее табличное значение аргумента.
Можно также вывести формулы численного дифференцирования, основанные на второй интерполяционной формуле Ньютона.

Дата добавления: 2015-07-20