Исследование стационарных критических точек функции с помощью второй производной.

Определение. Пусть функция определена на промежутке и точка является внутренней точкой этого промежутка. Точка называется стационарной критической точкой функции , если .

Лемма. Пусть функция определена на промежутке всюду, за исключением, быть может, точки . Пусть существует конечный, отличный от нуля, предел

.

Тогда существует проколотая -окрестность точки такая, что и для всех , причем значения в имеют знак числа А.

► По условию . Пусть для определенности . Так как , то любому (в частности, ) отвечает число такое, что для всех будет

(считаем число столь малым, что ). Следовательно, для всех будет . В частности, , если . ◄

Теорема 3. Пусть функция определена и непрерывна в промежутке . Пусть точка и является стационарной критической для . Пусть имеет в точке конечную, отличную от нуля, вторую производную (тем самым предполагается, что имеет конечную первую производную не только в точке , но и в некоторой -окрестности точки ). Тогда:

1. если , то функция имеет в точке строгий минимум;

2. если , то функция имеет в точке строгий максимум.

► Докажем утверждение 1). Утверждение 2) доказывается аналогично. Итак, дано: . Требуется доказать, что имеет в точке строгий минимум. Имеем, по определению,

(ибо ). По условию , т. e. . Но тогда, по лемме, существует (можно считать, что ) такая, что будет

для всех . (*)

Возьмем любое . Но тогда и, следовательно, из соотношения (*) следует, что .

Возьмем любое . Но тогда и, следовательно, из соотношения (*) следует, что .

Таким образом, получили: для и для , т. е. что при переходе через точку производная меняет знак с «–» на «+». Это означает, что функция имеет в точке строгий минимум. ◄

Замечание. Если и , то на вопрос: имеет в точке экстремум или нет, теорема 3 ответа не дает. Заметим, что при выполнении условий: , возможны случаи наличия экстремума у функции в точке и случаи его отсутствия (см. рис. 4.22).

Рис. 4.22.

Действительно, для функции в точке обращаются в нуль и . Функция в точке экстремума не имеет.

Для функции в точке обращаются в нуль и . Функция в точке имеет минимум.

Рассмотрим пример на применение теоремы 3.

Пример. Исследовать на экстремум функцию в промежутке .

Рис. 4.23.

► Имеем . в точках , . В остальных точках промежутка существует конечная, отличная от нуля. Точки и — стационарные критические точки функции . Имеем , .

Вывод: функция в точке имеет строгий максимум, а в точке — строгий минимум.

Дата добавления: 2015-07-20