Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Формула полной вероятности и формула Байеса»

1. Определение суммы событий.

2. Определение произведения событий.

3. Определение противоположного события.

4. Определение несовместных событий.

5. Теорема сложения вероятностей двух совместных событий.

6. Теорема сложения вероятностей двух несовместных событий.

7. Теорема сложения вероятностей нескольких несовместных событий.

8. Определение условной вероятности.

9. Определение независимых событий.

10. Формула для нахождения условной вероятности .

11. Теорема умножения вероятностей двух зависимых событий.

12. Теорема умножения вероятностей двух независимых событий.

13. Теорема умножения вероятностей нескольких зависимых событий.

14. Теорема умножения вероятностей нескольких зависимых событий.

15. Формула полной вероятности. Условия применимости. Свойства группы гипотез.

16. Формула Байеса. Условия применимости.

17. Формула для нахождения вероятности происхождения хотя бы одного из n независимых, но совместных событий .

Вопросы к мониторингу №3 на тему

«Схема независимых испытаний Бернулли»

1. Схема Бернулли: основные составляющие условия.

2. Формула Бернулли.

3. Формула Пуассона. Условия применения.

4. Формула Муавра-Лапласа. Условия применения.

5. Интегральная теорема Лапласа. Условия применения.

6. Вероятность отклонения относительной частоты случайного события от его теоретической вероятности не более, чем на .

7. Физический смысл формулы .

8. Локальная функция Лапласа. Ее свойства. Ее график.

9. Интегральная не усеченная функция Лапласа. Ее свойства. Ее график.

10. Интегральная усеченная функция Лапласа. Ее свойства. Ее график.

Вопросы к самостоятельной работе № 1 по теме «Случайная величина»

1. Условие нормировки для непрерывной случайной величины.

2. Свойства плотности распределения вероятностей.

3. Связь между функцией распределения и плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

4. Как ведут себя функция распределения и плотность распределения вероятностей в .

5. Записать плотность распределения вероятностей для равномерно распределенной в отрезке [3;8] случайной величины.

6. Записать функцию распределения для равномерно распределенной в отрезке [5;10] случайной величины.

7. Построить график плотности распределения вероятностей для равномерно распределенной в отрезке [0;4] случайной величины.

8. Построить график функции распределения для равномерно распределенной в отрезке [1;6] случайной величины.

9. Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины, закон распределения которой задан плотность распределения вероятностей вида:

.

10. Найти математическое ожидание и дисперсию для равномерно распределенной в отрезке [3;8] случайной величины.

11. Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины, закон распределения которой задан плотность распределения вероятностей вида:

.

12. Записать плотность распределения вероятностей для случайной величины, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром .

13. Записать функцию распределения для случайной величины, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром .

14. Построить график плотности распределения вероятностей для случайной величины, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром .

15. Построить график функции распределения для случайной величины, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром .

16. Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины, закон распределения которой задан плотность распределения вероятностей вида:

.

17. Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром .

18. Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины, закон распределения которой задан плотность распределения вероятностей вида:

.

19. Записать закон распределения для биномиальной случайной величины, распределенной с параметрами n=10, р=0,3.

20. Найти математическое ожидание и дисперсию биномиальной случайной величины, распределенной с параметрами n=5, р=0,5.

21. Дискретная случайная величина имеет закон распределения вида:

,

где значения случайной величины х_i = 0, 1, …, n, а n и р – параметры распределения. Записать формулу для нахождения ее математического ожидания и дисперсии.

22. Дискретная случайная величина имеет закон распределения вида:

,

где значения случайной величины х_i = 0, 1, …, 5. Найти ее математическое ожидание и дисперсию.

23. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по закону Пуассона с параметром .

24. Дискретная случайная величина имеет закон распределения вида:

,

где значения случайной величины х_i = 0, 1, …, n …, а – параметр распределения. Записать формулу для нахождения ее математического ожидания и дисперсии.

25. Дискретная случайная величина имеет закон распределения вида:

,

где значения случайной величины х_i = 0, 1, …, n, …. Найти ее математическое ожидание и дисперсию.

26. Случайная величина задана плотностью распределения вида:

.

Найти математическое ожидание и дисперсию.

27. Случайная величина задана плотностью распределения вида:

.

Найти математическое ожидание и дисперсию.

28. Случайная величина задана плотностью распределения вида:

.

В интервал с какими границами попадает эта величина с вероятностью 99,7%.

30. Дана случайная величина вида N [3; 2]. Найти математическое ожидание и дисперсию.

31.Дана случайная величина вида N [1; 5]. В интервал с какими границами попадает эта величина с вероятностью 99,7%.

Вопросы к самостоятельной работе № 2 по теме «Обработка выборки»

1. Определение генеральной совокупности.

2. Определение выборки.

3. Суть выборочного метода

4. Ранжированный ряд.

5. Вариационный ряд.

6. Интервальный ряд.

7. Частота варианты.

8. Относительная частота варианты.

9. Накопленная частота для числа х числовой оси.

10. Относительная накопленная частота для числа х числовой оси.

11. Накопленная частота интервала.

12. Полигон частот.

13. Гистограмма.

14. Кумулята.

15. Как найти медиану по кумуляте.

16. Как найти моду по гистограмме.

17. Мода выборки (определение).

18. Медиана выборки (определение).

19. Формула для нахождения моды интервального ряда.

20. Формула для нахождения медианы интервального ряда.

21. Выборочное среднее. Формула для его нахождения.

22. Выборочная дисперсия. Формула для ее нахождения.

23. Выборочное среднеквадратическое отклонение. Формула для его нахождения.

24. Исправленная выборочная дисперсия. Формула для ее нахождения.

25. Исправленное среднеквадратическое отклонение. Формула для его нахождения. Чем оно лучше?

26. Вариационный размах.

27. Среднее линейное отклонение.

28. Коэффициент вариации.

29. Выборочная асимметрия. Формула для ее нахождения

30. Выборочный эксцесс. Формула для его нахождения.

31. Определение несмещенной оценки.

32. Определение состоятельной оценки.

33. Определение эффективной оценки.

34. Эмпирическая функция распределения.

Вопросы к коллоквиуму по курсу

«Теория вероятностей и математическая статистика»

1. Определение случайного события. Достоверное событие, невозможное событие, противоположное событие.

2. Относительная частота появления события.

3. Определение вероятности.

4. Вероятностное пространство: определение W.

5. Вероятностное пространство: s-алгебра; исход, благоприятствующий событию А.

6. Определение суммы, произведения, разности событий.

7. Определение полной группы событий. Определение группы несовместных событий. Определение группы равновозможных событий.

8. Аксиомы Колмогорова.

9. Свойства вероятности.

10. Классическое определение вероятности (условия применимости).

11. Правило суммы. Правило произведения.

12. Число перестановок без повторений. Число сочетаний без повторений.

13. Число размещений без повторений. Число размещений с повторениями.

14. Геометрическое определение вероятности.

15. Определение условной вероятности. Формула для нахождения условной вероятности. Независимые события.

16. Теорема умножения вероятностей.

17. Теорема сложения вероятностей.

18. Формула полной вероятности (условия применения).

19. Формула Байеса (условия применения).

20. Схема независимых испытаний Бернулли: формула Бернулли.

21. Схема независимых испытаний Бернулли: формула Пуассона.

22. Схема независимых испытаний Бернулли: формула Муавра - Лапласа.

23. Схема независимых испытаний Бернулли: интегральная теорема Лапласа.

24. Схема независимых испытаний Бернулли: формула вероятности отклонения частоты происхождения события А от вероятности его происхождения.

25. Определение случайной величины: дискретные и непрерывные случайные величины.

26. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения.

27. Определение функции распределения. Свойства.

28. Определение плотности распределения. Свойства.

29. Биномиальное с параметрами n и p распределение. Пуассоновское с параметрами l распределение.

30. Равномерное с параметрами а и b распределение. Экспоненциальное с параметрами a распределение.

31. Нормальное с параметрами а и s распределение. Правило трех сигм.

32. Определение математического ожидания дискретной и непрерывной случайных величин.

33. Свойства математического ожидания.

34. Формулы для математического ожидания известных распределений.

35. Определение дисперсии дискретной и непрерывной случайных величин. Среднеквадратическое отклонение.

36. Свойства дисперсии.

37. Формулы для дисперсии известных распределений.

38. Определение моды и медианы.

39. Определение начального и центрального момента.

40. Определение абсолютного и смешанного момента.

41. Определение и смысл асимметрии.

42. Определение и смысл эксцесса.

43. Таблица дискретной двумерной случайной величины.

44. Функция распределения двумерной случайной величины. Свойства. Вероятность попадания в прямоугольник.

45. Плотность распределения двумерной случайной величины. Свойства. Плотности составляющих.

46. Математическое ожидание составляющих (отличие от одномерного случая).

47. Дисперсии (среднеквадратические отклонения) составляющих. Отличие от одномерного случая.

48. Ковариация, коэффициент корреляции.

49. Неравенство Маркова (смысл).

50. Следствие из неравенства Маркова – неравенство Чебышева (смысл).

51. Теорема Чебышева (смысл).

52. Теорема Бернулли (закон больших чисел).

53. Центральная предельная теорема.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Таблица 1

Значения функции

k	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
	0,9048	0,8187	0,7408	0,6703	0,6065	0,5488
	0,0905	0,1638	0,2222	0,2681	0,3033	0,3293
	0,0045	0,0164	0,0333	0,0536	0,0758	0,0988
	0,0002	0,0011	0,0033	0,0072	0,0126	0,0198
		0,0001	0,0002	0,0007	0,0016	0,0030
				0,0001	0,0002	0,0004
k	0,7	0,8	0,9	1,0	2,0	3,0
	0,4966	0,4493	0,4066	0,3676	0,1353	0,0498
	0,3476	0,3595	0,3659	0,3679	0,2707	0,1494
	0,1217	0,1438	0,1647	0,1839	0,2707	0,2240
	0,0284	0,0383	0,0494	0,0613	0,1804	0,2240
	0,0050	0,0077	0,0111	0,0153	0,0902	0,1680
	0,0007	0,0012	0,0020	0,0031	0,0361	0,1008
	0,0001	0,0002	0,0003	0,0005	0,0120	0,0504
				0,0001	0,0034	0,0216
					0,0009	0,0081
					0,0002	0,0027
						0,0008
						0,0002
						0,0001
k	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0
	0,0183	0,0067	0,0025	0,0009	0,0003	0,0001
	0,0733	0,0337	0,0149	0,0064	0,0027	0,0011
	0,1465	0,0842	0,0446	0,0223	0,0107	0,0050
	0,1954	0,1404	0,0892	0,0521	0,0286	0,0150
	0,1954	0,1755	0,1339	0,0912	0,0572	0,0337
	0,1563	0,1755	0,1606	0,1277	0,0916	0,0607
	0,1042	0,1462	0,1606	0,1490	0,1221	0,0911
	0,0595	0,1044	0,1377	0,1490	0,1396	0,1171
	0,0298	0,0653	0,1033	0,1304	0,1396	0,1318
	0,0132	0,0363	0,0688	0,1014	0,1241	0,1318
	0,0053	0,0181	0,0413	0,0710	0,0993	0,1186
	0,0019	0,0082	0,0225	0,0452	0,0722	0,0970
	0,0006	0,0034	0,0113	0,0264	0,0481	0,0728
	0,0002	0,0013	0,0052	0,0142	0,0296	0,0504
	0,0001	0,0005	0,0022	0,0071	0,0169	0,0324
		0,0002	0,0009	0,0033	0,0090	0,0194
		0,0001	0,0003	0,0015	0,0045	0,0109
			0,0001	0,0006	0,0021	0,0058

Таблица 2

Значения функции

x
0,0	0,3989
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0	0,2420
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0	0,0540
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0	0,0044
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9

Таблица 3

Значения функции

x		x		x		x
0,00	0,0000	0,44	0,1700	0,88	0,3106	1,32	0,4066
0,01	0,0040	0,45	0,1736	0,89	0,3133	1,33	0,4082
0,02	0,0080	0,46	0,1772	0,90	0,3159	1,34	0,4099
0,03	0,0120	0,47	0,1808	0,91	0,3186	1,35	0,4115
0,04	0,0160	0,48	0,1844	0,92	0,3212	1,36	0,4131
0,05	0,0199	0,49	0,1879	0,93	0,3238	1,37	0,4147
0,06	0,0239	0,50	0,1915	0,94	0,3264	1,38	0,4162
0,07	0,0279	0,51	0,1950	0,95	0,3289	1,39	0,4177
0,08	0,0319	0,52	0,1985	0,96	0,3315	1,40	0,4192
0,09	0,0359	0,53	0,2019	0,97	0,3340	1,41	0,4207
0,10	0,0398	0,54	0,2054	0,98	0,3365	1,42	0,4222
0,11	0,0438	0,55	0,2088	0,99	0,3389	1,43	0,4236
0,12	0,0478	0,56	0,2123	1,00	0,3413	1,44	0,4251
0,13	0,0517	0,57	0,2157	1,01	0,3438	1,45	0,4265
0,14	0,0557	0,58	0,2190	1,02	0,3461	1,46	0,4279
0,15	0,0596	0,59	0,2224	1,03	0,3485	1,47	0,4292
0,16	0,0636	0,60	0,2257	1,04	0,3508	1,48	0,4306
0,17	0,0675	0,61	0,2291	1,05	0,3531	1,49	0,4319
0,18	0,0714	0,62	0,2324	1,06	0,3554	1,50	0,4332
0,19	0,0753	0,63	0,2357	1,07	0,3577	1,51	0,4345
0,20	0,0793	0,64	0,2389	1,08	0,3599	1,52	0,4357
0,21	0,0832	0,65	0,2422	1,09	0,3621	1,53	0,4370
0,22	0,0871	0,66	0,2454	1,10	0,3643	1,54	0,4382
0,23	0,0910	0,67	0,2486	1,11	0,3665	1,55	0,4394
0,24	0,0948	0,68	0,2517	1,12	0,3686	1,56	0,4406
0,25	0,0987	0,69	0,2549	1,13	0,3708	1,57	0,4418
0,26	0,1026	0,70	0,2580	1,14	0,3729	1,58	0,4429
0,27	0,1064	0,71	0,2611	1,15	0,3749	1,59	0,4441
0,28	0,1103	0,72	0,2642	1,16	0,3770	1,60	0,4452
0,29	0,1141	0,73	0,2673	1,17	0,3790	1,61	0,4463
0,30	0,1179	0,74	0,2703	1,18	0,3810	1,62	0,4474
0,31	0,1217	0,75	0,2734	1,19	0,3830	1,63	0,4484
0,32	0,1255	0,76	0,2764	1,20	0,3849	1,64	0,4495
0,33	0,1293	0,77	0,2794	1,21	0,3869	1,65	0,4505
0,34	0,1331	0,78	0,2823	1,22	0,3883	1,66	0,4515
0,35	0,1368	0,79	0,2852	1,23	0,3907	1,67	0,4525
0,36	0,1406	0,80	0,2881	1,24	0,3925	1,68	0,4535
0,37	0,1443	0,81	0,2910	1,25	0,3944	1,69	0,4545
0,38	0,1480	0,82	0,2939	1,26	0,3962	1,70	0,4554
0,39	0,1517	0,83	0,2967	1,27	0,3980	1,71	0,4564
0,40	0,1554	0,84	0,2995	1,28	0,3997	1,72	0,4573
0,41	0,1591	0,85	0,3023	1,29	0,4015	1,73	0,4582
0,42	0,1628	0,86	0,3051	1,30	0,4032	1,74	0,4591
0,43	0,1664	0,87	0,3078	1,31	0,4049	1,75	0,4599

Таблица 3. Продолжение

x		x		x		x
1,76	0,4608	2,13	0,4834	2,50	0,4938	2,87	0,4979
1,77	0,4616	2,14	0,4838	2,51	0,4940	2,88	0,4980
1,78	0,4625	2,15	0,4842	2,52	0,4941	2,89	0,4981
1,79	0,4633	2,16	0,4846	2,53	0,4943	2,90	0,4981
1,80	0,4641	2,17	0,4850	2,54	0,4945	2,91	0,4982
1,81	0,4649	2,18	0,4854	2,55	0,4946	2,92	0,4982
1,82	0,4656	2,19	0,4857	2,56	0,4948	2,93	0,4983
1,83	0,4664	2,20	0,4861	2,57	0,4949	2,94	0,4984
1,84	0,4671	2,21	0,4864	2,58	0,4951	2,95	0,4984
1,85	0,4678	2,22	0,4868	2,59	0,4951	2,96	0,4985
1,86	0,4686	2,23	0,4871	2,60	0,4953	2,97	0,4985
1,87	0,4693	2,24	0,4875	2,61	0,4955	2,98	0,4986
1,88	0,4699	2,25	0,4878	2,62	0,4956	2,99	0,4986
1,89	0,4706	2,26	0,4881	2,63	0,4967	3,00	0,49865
1,90	0,4713	2,27		2,64	0,4959	3,10	0,49903
1,91	0,4719	2,28	0,4887	2,65	0,4960	3,20	0,49931
1,92	0,4726	2,29	0,4890	2,66	0,4961	3,30	0,49952
1,93	0,4732	2,30	0,4893	2,67	0,4962	3,40	0,49966
1,94	0,4738	2,31	0,4896	2,68	0,4963	3,50	0,49977
1,95	0,4744	2,32	0,4898	2,69	0,4964	3,60	0,49984
1,96	0,4750	2,33	0,4901	2,70	0,4965	3,70	0,49989
1,97	0,4756	2,34	0,4904	2,71	0,4966	3,80	0,49993
1,98	0,4761	2,35	0,4906	2,72	0,4967	3,90	0,49995
1,99	0,4767	2,36	0,4909	2,73	0,4968	4,00	0,499968
2,00	0,4772	2,37	0,4911	2,74	0,4969	4,10	0,499979
2,01	0,4778	2,38	0,4913	2,75	0,4970	4,20	0,499987
2,02	0,4783	2,39	0,4916	2,76	0,4971	4,30	0,499991
2,03	0,4788	2,40	0,4918	2,77	0,4972	4,40	0,499995
2,04	0,4793	2,41	0,4920	2,78	0,4973	4,50	0,4999966
2,05	0,4798	2,42	0,4922	2,79	0,4974	4,60	0,4999979
2,06	0,4803	2,43	0,4925	2,80	0,4974	4,70	0,4999987
2,07	0,4808	2,44	0,4927	2,81	0,4975	4,80	0,4999992
2,08	0,4812	2,45	0,4929	2,82	0,4976	4,90	0,4999995
2,09	0,4817	2,46	0,4931	2,83	0,4977	5,00	» 0,5
2,10	0,4821	2,47	0,4932	2,84	0,4977
2,11	0,4826	2,48	0,4934	2,85	0,4978
2,12	0,4830	2,49	0,4936	2,86	0,4979

Дата добавления: 2015-07-26