Проверка гипотезы о нормальности распределения генеральной совокупности по критерию Пирсона

Исходные данные. Дано статистическое распределение

.

Нулевая гипотеза : генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

Конкурирующая гипотеза : генеральная совокупность не распределена по нормальному закону.

Наблюдаемое значение критерия Пирсона:

,

где , - теоретические частоты вероятности попадания Х в интервалы ; n - объем выборки; ; - функция Лапласа; .

Нулевая гипотеза принимается, если , где определяют по таблице распределения - Пирсона при заданном уровне значимости и числу степеней свободы , где s - число групп выборки.

Нулевая гипотеза отвергается, если

.

ЗАДАЧИ

51. Для проверки эффективности нового лекарства были отобраны две случайные группы по 15 человек, страдающих гриппом. При применении старого лекарства средний срок выздоровления составлял 11 дней с выборочной дисперсией 3, при применении нового срок выздоровления составил 8 дней с 4. Проверить на уровне 0,99 гипотезу о преимуществе нового лекарства.

52. В двух фирмах, выпускающих детское питание, производилась оценка качества продукции. В фирме А, где проверялось 30 единиц, средняя сумма баллов оказалась равной 52. Во второй фирме проверялось 36 единиц продукции, и их средняя сумма баллов оказалась равной 47. Считая дисперсию балльной оценки равной 12, определить на уровне значимости 0,05, какая фирма выпускает лучшую продукцию.

53. Точность работы двух станков оценивалась отклонениями от номинала производимой продукции. Из 10 единиц продукции первого станка отклонение от номинала (выборочная дисперсия) составила 3,5, из 15 единиц продукции второго станка - 4,5. Можно ли считать на уровне значимости 0,1, что станки имеют одинаковую точность?

54. Для проверки новой технологии были выбраны две группы рабочих, численностью 40 человек и 50 человек. В первой группе, при применении старой технологии, средняя выработка составила 85 (изделий), во второй, где применялась новая технология, 95. Дисперсии по группам 100, 75 были известны заранее. Выяснить на уровне значимости 0,05 влияние новой технологии на производительность.

55. Средний годовой оборот 5 компаний в регионе А составил 4900 усл. ед., средний оборот 10 компаний в регионе В составил 5000 усл. ед. Выборочная дисперсия оборота компаний в регионе А оказалась равной 1000, а в регионе В – 4000. Считая дисперсии среднегодовых оборотов одинаковыми , проверить на уровне значимости 0,05 гипотезу о равенстве средних значений в регионах А и В.

56. Из 50 человек, покупающих в магазине кофе, 23 выбирают сорт «Арабика». Проверить на уровне значимости 0,05 гипотезу о том, что половина покупателей выбирает данный сорт.

57. В результате проверки 10 продавцов одной из торговых точек города были обнаружены недовесы со средним значением 150 г и выборочной дисперсией 2500. В другой точке недовесы характеризовались 125 г и 1600 среди выборки из 15 продавцов. Выяснить на уровне доверия 0,95, в какой точке предпочтительнее покупать продукцию.

58. При проверке размеров подшипников из двух партий по 10 штук в каждой, поставленных разными заводами, были обнаружены отклонения от номинала, характеризуемые выборочными дисперсиями 9, 8,5. Можно ли считать при уровне доверия 0,1 одинаковой точность изготовления подшипников разными заводами?

59. Средний урожай пшеницы с 1 га составлял Q = 80 ц/га. После рекультивации почвы был определен средний урожай с площади в 9 га, причем оказалось, что 85 ц/га, а 4,5. Можно ли считать на уровне доверия 0,05, что урожайность поля увеличилась?

60. В больнице скорой помощи фиксировалось количество Х вызовов в час специализированных бригад. Наблюдения велись в течение 100 часов, их результаты приведены в таблице:

Количество вызовов
Частота вызовов

Найти выборочный параметр и по критерию Пирсона показать, что при 0,05 случайная величина Х распределена по закону Пуассона.

61. Для данных таблицы проверить с помощью критерия Пирсона гипотезу о нормальности случайной величины на уровне доверия 0,9.

-8,76	-1,46	-4,67	-2,25	2,56	-1,65	0,43	0,65	-1,22	-4,41
-6,28	8,55	3,17	0,36	2,45	1,59	-5,44	4,49	5,14	-6,52
7,65	-2,21	7,04	8,65	-1,33	1,74	-1,46	-4,41	-0,28	3,78
-4,79	1,24	-0,47	-7,44	-1,81	-0,29	-2,69	-0,39	1,14	0,97
2,07	-6,91	0,64	-11,80	-5,43	-5,42	1,59	1,83	-4,96	2,64

62. Показать, что случайная величина l в таблице имеет равномерное распределение на отрезке [-1, 1]. Принять 0,01.

-1,00	-0,99	-0,98	-0,97	-0,91	-0,68	0,06	0,60	-0,98	0,64
0,74	0,67	-0,65	-0,04	-0,35	0,29	0,98	-0,78	0,45	-0,21
0,74	-0,16	-0,85	0,31	-0,38	0,85	0,55	-0,34	0,92	0,65
-0,38	-0,17	0,41	0,03	0,45	0,48	0,76	0,26	0,66	-0,36
-0,21	0,00	-0,05	-0,38	0,20	0,69	0,35	-0,09	0,24	0,29

63. Построить гистограмму по данным выборки таблицы, по ее виду определить закон распределения и проверить его по критерию Пирсона при 0,99.

0,000	0,002	0,007	0,025	0,091	0,339	1,527	3,239	0,014	3,457
4,134	3,647	0,374	1,293	0,778	2,091	9,344	0,226	2,590	1,000
3,507	1,086	0,148	2,150	0,740	5,223	3,007	0,791	6,492	3,502
0,738	1,069	2,453	1,447	2,614	2,706	4,314	2,001	3,600	0,764
1,000	1,394	1,272	0,730	1,832	3,742	2,267	1,211	1,949	2,086

64. Температура в холодильной камере контролируется по двум электронным термометрам. Для сравнения точности термометров их показания фиксируются одновременно. Проведено 10 замеров показаний термометров:

Номер замера
№ 1	-7,11	-8,63	-6,89	-7,23	-7,51	-7,68	-7,91	-6,97	-7,44	-7,64
№ 2	-7,13	-8,49	-7,12	-7,19	-7,67	-7,49	-8,03	-7,15	-7,29	-7,89

При уровне значимости 0,1 проверить гипотезу о равенстве дисперсий.

65. Акционерное общество (АО) выпускает печенье «Русские узоры» в пачках, на которых написано: масса нетто 200 г. Осуществлена выборка для оценки средней массы печенья в пачках, выпущенных московской и санкт-петербургской фабриками АО. Результаты выборок таковы (указана масса пачек печенья «Русские узоры»):

Московская фабрика:

201, 195, 197, 199, 202, 198, 199, 203, 195, 196, 198, 199, 194, 203, 195, 202, 197;

Санкт-петербургская фабрика:

203, 207, 191, 193, 197, 201, 196, 192, 194, 195, 198, 196.

Предполагая, что случайная величина массы печенья распределена по нормальному закону с одинаковыми дисперсиями, и, считая выборки независимыми, определить:

а) средние выборочные и «исправленные» средние квадратичные отклонения массы для каждой фабрики;

б) для 0,05 значимо или нет различие между средними выборочными (если это различие имеется);

в) является ли величина 200 г математическим ожиданием массы при 5%-м уровне значимости?

66. Производительность каждого из агрегатов А и В составила (в кг вещества за час работы):

Номер замера
Агрегат 1	14,1	13,1	14,7	13,7	14,0
Агрегат 2	14,0	14,5	13,7	12,7	14,1

При уровне значимости 0.99 проверить гипотезу о равной производительности двух агрегатов.

67. Используются два вида удобрений: I и II. Для сравнения их эффективности были попарно выбраны 20 участков равной площади так, что пару составили участки, однородные по плодородию. Десять участков были обработаны удобрением I, а десять, парных им, - удобрением II. На соответствующих парах участков получили следующий урожай:

№
I	8,0	8,4	8,0	6,4	8,6	7,7	7,7	5,6	5,6	6,2
II	5,6	7,4	7,3	6,4	7,5	6,1	6,6	6,0	5,5	5,0

При уровне значимости 5 % проверить гипотезу о различном влиянии использования удобрения I и II.

68. Предполагается, что большая партия деталей содержит 15% брака. Для проверки из партий случайным образом отобрано 100 деталей, среди которых оказалось 10 бракованных. Считая, что число бракованных деталей в партии имеет биномиальное распределение, и используя двусторонний критерий при уровне значимости =0,05, проверить предположение о том, что в партии содержится 15% бракованных деталей.

69.Завод рассылает рекламные каталоги возможным заказчикам. Как показал опыт, вероятность того, что организация, получившая каталог, закажет рекламируемое изделие, равна 0,05. Завод разослал 1000 каталогов новой улучшенной формы и получил 100 заказов. Можно ли считать, что новая форма рекламы оказалась значимо эффективнее первой? Уровень значимости принять равным 0,05.

70. В результате длительных наблюдений установлено, что вероятность полного выздоровления больного, принимавшего лекарство А, равна 0,8. Новое лекарство В назначено 800 больным, причем 660 из них полностью выздоровели. Можно ли считать новое лекарство значимо эффективнее лекарства А на пятипроцентном уровне значимости?

Указание. Принять : p=0,8; : .

71. Партия изделий принимается, если вероятность того, что изделие окажется бракованным не превышает 0,03. Среди случайно отобранных 400 изделий оказалось 18 бракованных. Можно ли принять партию?
Указание. Принять : p=0,3; : .

Дата добавления: 2015-07-26