Теорема Бернулли

Теорема Бернулли является также одной из форм закона больших чисел. Если вероятность p наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и число испытаний достаточно велико, то

.

При конечном значении n:

, где .

Пример. Вероятность наступления события в каждом из 1000 независимых испытаний постоянна и равна 0,3. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что отклонение числа наступлений события от математического ожидания будет не менее 30.

Решение. Неравенство Чебышева имеет вид:

.

Для применения неравенства Чебышева найдем математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х) случайной величины Х – числа наступления события в 1000 независимых испытаниях:

M(Х)=np=1000 0,3=300;

D(Х)=npq=1000 0,3 0,7=210,

где q=1– p.

Отсюда, искомая вероятность P

Пример. Вероятность наступления события А в каждом из 1000 независимых испытаний постоянна и равна 0,3. Почему нельзя с помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что число появления события А будет заключено в границах от 160 до 460? Решить задачу при соответствующем изменении левой границы.

Решение.Неравенство Чебышева имеет вид:

.

Но это означает, что оценивается вероятность события: «случайная величина X примет значение в интервале от M(X) – e до M(X) + e». То есть интервал должен быть симметричен относительно математического ожидания, иначе этим неравенством воспользоваться нельзя. В нашем случае имеем биномиально распределенную дискретную случайную величину X, где

n = 1000 – число независимых испытаний;

p = 0,3 – вероятность успеха в каждом испытании.

Тогда M(X) = np = 1000 × 0,3 = 300.

M(X) – e = 160.

M(X) + e = 460.

Нельзя найти такого e, чтобы оно одновременно удовлетворяло обоим равенствам ( = 300 – 160 = 140; = 460 – 300 = 160).

Изменим левую границу на 140. Тогда:

.

Дисперсия D(X) = npq = 1000 × 0,3 × 0,7 = 300 × 0,7 = 210.

.

ЗАДАЧИ

165. Средний вес клубня картофеля равен 120 г. Какова вероятность того, что наугад взятый клубень картофеля весит не более 300 г?

166. Среднее число дождливых дней в году в данном районе равно 80. Оценить вероятность того, что в этом районе будет не более 100 дождливых дней в году.

167. Количество воды, необходимое в течение суток предприятию для технических нужд, является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 125 .Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход воды на предприятиях превысит 500 .

168. Средний суточный расход электроэнергии в населенном пункте для личных нужд составляет 4000 квтч. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход электроэнергии в этом населенном пункте не превзойдет 10000 квтч.

169. Скорость ветра в течение суток в данной местности является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 15 м/сек. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки скорость ветра в этой местности превысит 40 м/сек.

170. Дано: ; D(X) = 0,004. Используя неравенство Чебышева, найти e.

171. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что если D(X)=0,001.

172. Вероятность того, что покупатель произведет покупку в магазине, равна 0,65. Почему нельзя применить неравенство Чебышева для оценки вероятности того, что из 2000 покупателей число сделавших покупки, будет находиться в границах от 1260 до 1360 включительно? Решить задачу при соответствующем изменении левой границы.

173. Вероятность изготовления деталей с дефектами равна 0,8. Почему нельзя применить неравенство Чебышева для оценки вероятности того, что доля дефектных деталей среди 4000 изготовленных будет заключаться в границах от 0,78 до 0,83. Решить задачу при соответствующем изменении правой границы.

174. Пусть вероятность производства нестандартных деталей в некоторых технологических условиях равна 0,1. Почему нельзя применить неравенство Чебышева для оценки вероятности того, что число нестандартных среди 10000 деталей будет заключено в границах от 950 до 1030? Какой должна быть правая граница, чтобы применение неравенства Чебышева стало возможным? Решить задачу при соответствующем изменении правой границы.

175. Среднеквадратическое отклонение каждой из 2134 независимых случайных величин не превосходит 4. Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превысит 0,5.

176. Дисперсия каждой из 2500 независимых случайных величин не превышает 5. Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превысит 0,4.

177. Случайная величина равна: , где - независимые, одинаково распределенные случайные величины. . Каким должно быть число n, чтобы случайная величина с вероятностью, не меньшей 0,99, имела отклонение от своего математического ожидания, не превосходящее 0,01.

178. Для определения урожайности поля из 200 га взяли выборку с каждого гектара. Известно, что по каждому гектару поля дисперсия не превышает 2. Оценить вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности от средней урожайности не превосходит 0,2 ц.

179. Сколько следует проверить деталей, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,98, можно было ожидать, что абсолютная величина отклонения частности годных деталей от вероятности "деталь должна быть годной", равной 0,95, не превысит 0,01.

180. Пусть всхожесть семян некоторого растения составляет 79%. Оценить вероятность того, что при посеве 10000 семян отклонение доли взошедших от вероятности того, что взойдет каждое из них, не превзойдет по абсолютной величине 0,01.

181. Бросая монету, требуется определить число опытов, достаточное для того, чтобы с вероятностью, большей 0,9, можно было ожидать, что относительная частота будет отличаться от вероятности 0,5 меньше, чем на 0,2 по абсолютной величине.

182. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью, большей 0,95, можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не более, чем на 0,2?

183. Количество воды, необходимое предприятию в течение суток для технических нужд, является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 85м³, а среднеквадратическое отклонение - 15 м³. Почему нельзя применить неравенство Чебышева для оценки вероятности того, что в ближайшие сутки расход воды будет составлять от 60 до 100 ? Как нужно изменить правую границу, чтобы применение неравенства Чебышева стало возможным? Решить задачу при соответствующем изменении правой границы.

184. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 42-го размера, равна 0,25. Оценить вероятность того, что отклонение доли покупателей, которым необходима обувь 42-го размера, от вероятности 0,25 не превзойдет по абсолютной величине 0,06, если ожидается 2500 покупателей.

185. Длина изготовляемых изделий представляет случайную величину, математическое ожидание которой равно 90 см. Дисперсия этой величины равна 0,0225. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что:

а) отклонение длины изготовленного изделия от ее математического ожидания по абсолютной величине не превзойдет 0,4;

б) длина изделия выразится числом, заключенным между 89,7 и 90,3 см.

186. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,05. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за время t окажется меньше двух.

187. Дискретная случайная величина задана законом распределения:

Х	0,3	0,6
p	0,2	0,8

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что

.

188. Вероятность наступления события А в каждом испытании равна 0,3. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что в 10000 испытаниях отклонение относительной частоты события А от вероятности его не превзойдет по абсолютной величине 0,01.

189. Суточная потребность электроэнергии в населенном пункте является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 3000 квт/час, а дисперсия составляет 2500. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход электроэнергии в этом населенном пункте будет от 2500 до 3500 квт/час.

190. Выборочным путем требуется определить среднюю длину изготовляемых изделий. Сколько нужно обследовать изделий, чтобы с вероятностью, большей 0,9 можно было утверждать, что средняя длина отобранных изделий будет отличаться от математического ожидания этого среднего (принимаемого за среднюю длину изделий во всей партии) не более, чем на 0,001 см? Установлено, что среднеквадратическое отклонение длины детали не превышает 0,04 см.

191. Определить, сколько надо произвести замеров диаметров деревьев, чтобы средний диаметр деревьев отличался от истинного значения не более чем на 2 см с вероятностью не меньшей 0,95. Известно, что на данном участке среднеквадратическое отклонение диаметров деревьев не превышает 10 см.

192. Всхожесть семян некоторого растения составляет 60 %. Найти вероятность того, что при посеве 10000 семян отклонение доли взошедших семян от вероятности того, что взойдет каждое из них, не превосходит 0,01.

193. Расход технической воды на предприятии составляет 5000 л в день, а среднеквадратическое отклонение этой величины не превышает 1000 л. Оценить вероятность того, что расход воды в день не превышает 10000 л.

Дата добавления: 2015-07-26