Система двух случайных величин

Системой двух случайных величин (Х,Y) называется случайная величина, возможные значения которой определяются двумя числами.

Законом распределения системы двух случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы двух случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.

Таблицей распределения системы двух дискретных случайных величин (Х,Y) называется перечень ее возможных значений, т.е. пар чисел и их вероятностей , где . В общем виде таблица распределения приведена в табл. 1.

Таблица 1.

X Y

Функцией распределения двух случайных величин (X,Y) называется функция двух аргументов F(x,y) равная вероятности совместного выполнения двух неравенств Х<x, Y<y, т.е.

F(x,y) = P{X<x, Y<y}.

Свойства функции распределения:

1. Функция распределения F(x,y) есть неубывающая функция по каждому ее аргументу, т.е.:

, если ,

, если .

2. ,

.

3. .

4. .

5. Вероятность попадания системы двух случайных величин (Х,Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, то есть

.

Составляющие X и Y системы двух случайных величин (X,Y) называются независимыми, если их совместная функция распределения представляется произведением функций распределения составляющих:

Плотность распределения f(x,y) системы двух непрерывных случайных величин (Х,Y) называют вторую смешанную частную производную от функции распределения F(x,y), т.е.

.

Отсюда

.

Свойства плотности распределения:

1. .

2. .

3. Вероятность попадания системы двух непрерывных случайных величин (Х,Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, т.е.

.

Из совместной плотности распределения f(x,y) можно найти плотности распределения составляющих:

Математические ожидания составляющих для системы двух непрерывных случайных величин

,

Дисперсии составляющих системы двух непрерывных случайных величин

,

.

Математические ожидания составляющих для системы двух дискретных случайных величин (Х,Y):

;

где

; .

Дисперсии составляющих системы двух дискретных случайных величин

Среднеквадратические отклонения составляющих находятся по формулам:

;

Корреляционным моментом системы двух случайных величин (Х,Y) называется математическое ожидание произведения центрированных случайных величин Х и Y, то есть:

.

Для системы двух непрерывных случайных величин (Х,Y)

,

а для системы двух дискретных случайных величин (Х,Y)

.

Коэффициентом корреляции системы двух случайных величин (Х,Y) называется отношение корреляционного момента к произведению средне-квадратических отклонений составляющих и , то есть:

Свойства и

1. Для системы двух независимых случайных величин (Х,Y)

= =0.

2. Абсолютная величина не превышает среднего геометрического их дисперсий, то есть

.

3. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы, то есть .

Пример. Задана плотность вероятности совместного распределения системы двух случайных величин:

Найти:

1. Коэффициент а.

2. F(x,y).

3. .

4. .

Решение.

1. Согласно условию нормировки

.

Так как f(x,y) не равно нулю лишь в первом квадранте координатной плоскости, то пределы интегрирования сужаются, и условие нормировки приобретает вид:

.

Учитывая, что , рассчитаем отдельно каждый интеграл, входящий в указанное произведение.

.

Аналогично

.

Откуда .

2. Согласно формуле .

Рассмотрим поведение F(x,y) в каждом квадранте плоскости. Так как подынтегральная функция f(x,y) не равна нулю лишь при , то F(x,y) тоже не равна нулю только при этих условиях.

При

3. Для нахождения необходимо знать плотности распределения составляющих.

Аналогично находится .

Тогда найдется по формуле:

.

Получившийся интеграл легко решается по частям:

.

Тогда . Аналогично находится .

Найдем дисперсию , используя формулу:

.

Интеграл , разрешенный с помощью правила интегрирования по частям (примененного дважды) даст следующий результат:

.

Откуда

.

4. Для расчета корреляционного момента используем формулу:

.

Откуда, очевидно, равен нулю и коэффициент корреляции:

.

Заметим, что так, как данные случайные величины X и Y независимы, то имеет место равенство:

,

то во всех двойных интегралах использовалась возможность разбиения их на произведение интегралов по каждой переменной в отдельности.

Пример. Дана система дискретных случайных величин (X,Y), заданная своей таблицей распределения.

X Y	-1
	0,15	0,3	0,35
	0,05	0,05	0,1

Найти:

1. Таблицы распределения составляющих.

2. .

3. .

4. .

Решение.

1. Найти таблицу распределения одномерной случайной величины (составляющей), значит перечислить все ее возможные значения и указать вероятности, с которыми эти значения принимаются.

Так случайная величина Х принимает значения . Так как событие Х= –1 происходит только совместно с событием или с событием , которые, в свою очередь, являются несовместными, то

=

.

Аналогично

=

.

=

.

Тогда таблица распределения Х имеет вид:

Х	-1
p	0,2	0,35	0,45

Проверим условие нормировки:

.

Рассуждая аналогично, получим закон распределения составляющей Y.

Y
p	0,8	0,2

.

2. Чтобы найти математические ожидания составляющих, воспользуемся формулами:

;

.

3. Чтобы найти дисперсии составляющих, воспользуемся формулами:

Откуда

Откуда

4. Для нахождения корреляционного момента и коэффициента корреляции воспользуемся формулой:

Аналогично примеру 1, коэффициент корреляции так же оказывается равным нулю.

ЗАДАЧИ

139. В магазине имеются 10 телевизоров, из которых 4 дефектные. Пусть Х – случайная величина – число исправных телевизоров среди трех выбранных. Найти закон распределения X, M(X) и D(X).

140. В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2:3. Куплено 4 пары обуви. Случайная величина Х – число пар обуви, изготовленных первой фабрикой среди купленных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение этой величины.

141. В экзаменационном билете 3 задачи. Вероятность правильного решения студентом первой задачи равна 0,8, второй – 0,6 и третьей – 0,4. Найти математическое ожидание и дисперсию числа правильно решенных задач.

142. Для рекламы фирма вкладывает в каждую 10-ю единицу продукции приз в 1000 руб. Пусть Х – случайная величина – размер выигрыша при 3 сделанных покупках. Изобразить график функции распределения Х и М(Х).

143. Вероятность выигрыша по облигации равна 0,05. Пусть Х – случайная величина, число выигрышных облигаций из 5. Найти М(Х) и D(X).

144. Случайная величина Х принимает значения и с вероятностями 0,2 и 0,8 соответственно. Известны ее математическое ожидание М(Х) = 1,3 и дисперсия D(X) = 0,16. Найти значения случайной величины.

145. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение этой случайной величины.

146. Найти закон распределения числа пакетов акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из трех пакетов равна соответственно 0,5, 0,6, 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины, построить функцию распределения.

147. Торговый агент имеет 5 телефонных номеров потенциальных покупателей и звонит им до тех пор, пока не получит заказ на покупку товара. Вероятность того, что потенциальный покупатель сделает заказ, равна 0,4. Составить закон распределения числа телефонных разговоров, которые предстоит провести агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

148. Каждый поступающий в институт должен сдать 3 экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена 0,9, второго – 0,8, третьего – 0,7. Следующий экзамен поступающий сдает только в случае успешной сдачи предыдущего. Составить закон распределения числа экзаменов, сдававшихся поступающим в институт. Найти математическое ожидание этой случайной величины.

149. Даны законы распределения случайных величин Х и Y – прибыли двух филиалов фирмы:

	0,1	0,5	0,3	0,1

	0,3	0,5	0,2

Составить закон распределения суммарной прибыли Z = X + Y.

150. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана с точностью до неизвестной константы:

.

Найти: неизвестную константу А, функцию распределения случайной величины Х, ее математическое ожидание и дисперсию. Построить графики дифференциального и интегрального законов распределения.

151. Функция распределения случайной величины Х:

Найти M(X) и D(X).

152. Плотность случайной величины при и p(x) = 0 при . Найти M(X) и D(X).

153. Показать, что функция

является функцией распределения некоторой случайной величины Х. Найти вероятность p = P(X >1) и M(X).

154. Случайная величина распределена равномерно на некотором промежутке. Найти концы этого промежутка, если ее математическое ожидание равно 5, а дисперсия равна .

155. Дана функция распределения случайной величины Х

Найти: а) ряд распределения; б) M(X) и D(X); в) построить многоугольник распределения и график F(x).

156. Значения веса пойманной рыбы подчиняются нормальному распределению с параметрами = 375 г, = 25 г. Найти вероятность того, что вес одной рыбы будет: а) от 300 до 425 г, б) больше 300 г.

157. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 25. Вероятность попадания Х в интервал (10; 15) равна 0,09. Чему равна вероятность попадания Х в интервал: а) (35; 40); б) (30; 35)?

158. Нормально распределенная случайная величина имеет следующую функцию распределения: F(x) = 0,5 + 0,5 Ф (x–1). Из какого интервала (1; 2) или (2; 6) она примет значение с большей вероятностью?

159. Пусть двумерная случайная величина {X,Y} задана законом распределения:

	0,2	0,02	0,01
	0,03	0,3	0,02
	0,02	0,1	0,2	0,1

Найти законы распределения величин Х и Y.

160. Вероятность попадания в мишень равна р. Пусть Х – случайная величина, характеризующая количество попаданий в мишень при одном выстреле. Пусть Y – случайная величина, характеризующая количество промахов по мишени при одном выстреле. Найти совместный закон распределения дискретной случайной величины {X,Y} и ее функцию распределения.

161. Найти совместную плотность распределения двумерной случайной величины {X,Y}, если ее функция распределения равна

.

162. Совместная плотность распределения двумерной случайной величины {X,Y} равна

.

Найти: неизвестную константу А, функцию распределения {X,Y}.

163. Даны плотности вероятности независимых составляющих двумерной случайной величины (X, Y):

Найти выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины.

Дата добавления: 2015-07-26