Теорема сложения несовместных событий

Р(A+B)=Р(A)+Р(B),

где А, В - несовместные события.

Следствие 1. , где А_i, i=1,..., n – попарно-несовместные события.

Следствие 2. Если A₁ ,A₂ ..., A_n полная группа событий, то

.

Следствие 3. Если А и противоположные события, то

Р(А)+Р()=1

Следствие (из теорем сложения и умножения). Вероятность появления хотя бы одного из событий , i =1,..., n, независимых в совокупности

Р(А)=1 – .

Если Р() =q, то Р(А)=1 – qⁿ.

Пример. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Решение. Рассмотрим следующие события:

А₁– первый взятый учебник в переплете;

A₂– второй взятый учебник в переплете.

Событие, состоящее в том, что оба взятых учебника в переплете . События А₁ и А₂ являются зависимыми, так как вероятность наступления события А₂ зависит от наступления события А₁. Для решения указанной задачи воспользуемся теоремой умножения вероятностей зависимых событий:

.

Вероятность наступления события А₁ p(A₁) в соответствии с классическим определением вероятности:

P(A₁) = = 0,5.

Вероятность наступления события А₂ определяется условной вероятностью наступления события А₂ при условии наступления события А₁, т.е.

= =0,4.

Тогда искомая вероятность наступления события:

P(A)=0,5 0,4=0,2.

Пример. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка – 0,9; второго стрелка – 0,8. Найти вероятность того, что:

а) в мишень попадет только один стрелок;

б) мишень будет поражена.

Решение:

а) Пусть событие А - в мишень попадет только один стрелок. Введем события: - в мишень попадет первый стрелок; - в мишень попадет второй стрелок. Согласно условию: ; .

Заметим, что событие А означает следующее: в мишень попадет только первый стрелок (то есть первый попадет и второй не попадет) или в мишень попадет только второй стрелок (то есть второй попадет и первый не попадет). Тогда . События и несовместны, так как имеют множители, являющиеся противоположными событиями. Значит, к ним применима теорема сложения вероятностей для несовместных событий. События и независимы, значит, наступление не изменяет вероятности . Из этого следует, что и ненаступление (то есть наступление ) не меняет вероятности . Значит, независимы и , и , и к этим парам событий применима теорема умножения независимых событий. Учитывая, что , имеем:

=

=0,9(1-0,8)+(1-0,9)0,8=0,9 0,2+0,1 0,8=0,18+0,08=0,26.

б) Пусть событие В - мишень будет поражена. Это произойдет, если в мишень попадет хотя бы один стрелок: или только первый, или только второй, или оба (и первый, и второй). Значит . Рассуждая аналогично пункту а), имеем:

Найти вероятность события В можно, используя теорему сложения совместных событий и . Согласно определению суммы событий .

=

= 0,9+0,8-0,9 0,8 = 1,7- 0,72 = 0,98.

Найти вероятность события В можно, используя подход “от противного”. Событием, противоположным к В, является событие - ни один стрелок не попадет в мишень. Тогда имеем:

ЗАДАЧИ

69. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего равна 0,3; второй - 0,4; третий - 0,7; четвертый - 0,4. Найти вероятность того, что ни один станок в течение часа не потребует внимания рабочего.

70. Для сообщения об аварии установлено два независимо работающих сигнализатора - автомата. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; второй - 0,9. Найти вероятность того, что при аварии поступит сигнал: а) хотя бы от одного сигнализатора; б) только от одного сигнализатора.

71. Заводом послана машина за различными материалами на четыре базы. Вероятность наличия материала на первой базе - 0,9; на второй - 0,95; на третьей и четвертой - 0,6. Найти вероятность того, что только на одной базе не окажется нужного материала.

72. В студии телевидения три телевизионные камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.

73. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь сорок первого размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что пять первых покупателей потребуют обувь сорок первого размера.

74. В мешке смешаны нити, среди которые 30% белых, а остальные красные. Определить вероятность ого, что вынутые наудачу две нити будут: а) одного цвета; б) разных цветов.

75. Два орудия ведут стрельбу по танку. Вероятность попадания для первого орудия - 0,5; для второго - 0,4. Найти вероятность хотя бы одного попадания в танк, если из каждого орудия сделано по 3 выстрела.

76. Четыре охотника договорились стрелять в дичь в определенной последовательности. Следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятности попадания в цель каждым из охотников одинаковые и равны по 0,8. Найти вероятность того, что будет произведено: а) один; б) два; в) три; г) четыре выстрела.

77. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более, чем в три места.

78. Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью большей 0,9 можно было ожидать, что «шестерка» появится хотя бы на одной кости?

79. Вероятность попадания в мишень 0,8. Сколько можно произвести выстрелов, что бы с вероятностью большей 0,5 можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?

80. Из группы туристов, отправляющихся за границу, 60 % владеют английским языком, 40 % - французским и 10 % - обоими языками. Найти вероятность того, что наугад взятый турист не будет знать ни одного языка.

81. В течение года две фирмы имеют возможность, независимо друг от друга, обанкротиться с вероятностями 0,06 и 0,09. Найти вероятность того, что в конце года обе фирмы будут функционировать.

82. Среди поступающих в ремонт часов 40 % нуждаются в общей чистке механизма. Какова вероятность того, что из 5 взятых наугад часов все нуждаются в чистке механизма?

83. Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: четыре с первого, пять со второго, семь с третьего и четыре с четвертого. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или с третьего склада?

84. В порт приходят корабли только из трех пунктов отправления. Вероятность появления корабля из первого пункта равна 0,2, из второго пункта – 0,6. Найти вероятность прибытия корабля из третьего пункта.

85. Вероятность правильного оформления счета на предприятии составляет 0,95. Во время аудиторской проверки были взяты два счета. Какова вероятность того, что только один из них оформлен правильно?

86. Вероятность правильного оформления накладной при передаче продукции равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех накладных только две оформлены правильно.

87. В городе находятся 15 продовольственных и 5 непродовольственных магазинов. Случайным образом для приватизации были отобраны три магазина. Найти вероятность того, что третий по счету магазин – непродовольственный.

88. На предприятие поступают заявки от нескольких торговых пунктов. Вероятности поступления заявок от пунктов А и В равны соответственно 0,5 и 0,4. Найти вероятность поступления заявок от пункта А или от пункта В, считая события поступления заявок от этих пунктов независимыми, но совместными.

89. Инвестор вложил капитал в ценные бумаги двух финансовых фирм. При этом он надеется получить доход в течение обусловленного времени от первой фирмы с вероятностью 0,9; от второй – с вероятностью 1. Однако есть возможность банкротства фирм независимо друг от друга, которая оценивается для первой фирмы вероятностью 0,1; для второй – 0,02. В случае банкротства фирмы инвестор получает только вложенный капитал. Какова вероятность того, что инвестор получит прибыль?

Дата добавления: 2015-07-26