Геометрическое определение вероятности

Геометрическая вероятность используется в случае, когда число равновозможных исходов бесконечно. Геометрической вероятностью, характеризующей вероятность появления случайной точки внутри некоторой области, называется отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может появляться данная точка

, где

Р_d - вероятность попадания случайной точки в область S_d;

S - общая область, где может появляться случайная точка.

Пример. Выпущено 100 лотерейных билетов, причем установлены призы, из которых 8 по 1 руб., 2- по 5 руб. и 1-10 руб. Найти вероятность того, что купленный билет выиграл: а) 5 рублей; б) не более 5 рублей.

Решение: а) Для определения искомой вероятности используем формулу классического определения вероятности Р(A)= . Определим общее число исходов n. Оно равно числу выпущенных билетов-100. Определим благоприятное число исходов m. Оно равно числу лотерейных билетов с выигрышем в 5 рублей, т.е. 2. Тогда искомая вероятность равна: Р(А)= = =0,02.

б) Условие выигрыш “не более 5 рублей” означает, что купленный билет должен иметь либо выигрыш, равный 1 рублю (таких билетов 8), либо выигрыш, равный 5 рублям (таких билетов 2).В данном случае общее число исходов, как и в пункте а) равно 100, а число благоприятных исходов равно 10=8+2. Тогда искомая вероятность равна: Р(А)= = =0,1.

Пример. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.

Решение. Для решения указанной задачи воспользуемся классическим определением вероятности Р(A)= , где А - событие, состоящее в том, что отобраны по табельным номерам три женщины и четверо мужчин; m- число исходов, благоприятствующих появлению событию А; n- общее число исходов. Общее число возможных исходов испытания равно числу способов, которыми можно отобрать семь человек из десяти. Число способов определяется по выражению: .

Число исходов, благоприятствующих появлению события А, определяется числом способов, которым можно отобрать трех женщин из четырех, т.е. и четырех мужчин из шести, т.е. . Следовательно, число исходов, благоприятствующих появлению события А: m= .

Искомая вероятность:

Р(A)= = = =0,5.

Пример. В квадрат со сторонами равными а наудачу бросается точка. Определить вероятность того, что точка попадет внутрь вписанного в квадрат круга. Данная задача решается с использованием формулы геометрического определения вероятности. Мерой пространства элементарных событий является площадь квадрата . Площадь круга - мера события А. . Тогда искомая вероятность будет определяться по формуле .

ЗАДАЧИ

40. Лотерея состоит из 1000 билетов, среди них 150 выигрышных. Наугад вынимается 1 билет из 1000. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

41. Студент знает ответы на 20 вопросов из 30. Какова вероятность того, что он вытащит на экзамене известный ему вопрос?

42. В студенческой группе 15 девушек и 10 юношей. Случайным образом (по жребию) выбирают одного. Найти вероятность того, что отобран будет юноша.

43. При броске игральной кости вычислить вероятности следующих событий:

а) выпало 2 очка;

б) выпало 5 очков;

в) выпало простое число очков;

г) число выпавших очков кратно трем;

д) выпало нечетное число очков.

44. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 10. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона:

а) не содержит цифру 5;

б) делится без остатка на число 10;

в) делится без остатка на число 7.

45. Найти вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число делится:

а) на 8;

б) на 8 и на 3;

в) на 2, 4 и 6.

46. В урне 6 белых и 4 черных шара. Какова вероятность того, что среди 5 шаров наудачу взятых из урны, будет:

а) 2 белых и 3 черных шаров;

б) 3 белых и 2 черных шаров;

в) 5 белых шаров.

47. В ящике 10 деталей, среди которых две нестандартны. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных:

а) двух деталях одна нестандартна;

б) четырех деталях не более двух нестандартных;

в) шести деталях окажется не более одной нестандартной детали.

48. Библиотечка состоит из десяти различных книг. Причем пять книг стоят по 4 рубля каждая, три книги – по одному рублю и две книги – по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу:

а) две книги стоят 5 рублей;

б) три книги стоят 6 рублей;

в) одна книга стоит 4 рубля.

49. Какова вероятность того, что вынутые из колоды в 36 карт:

а) 2 карты окажутся тузами;

б) 4 карты окажутся тузами;

в) 3 карты окажутся разной масти;

г) 4 карты окажутся разных мастей;

д) 4 карты окажутся одной масти;

е) среди извлеченных 4 карт будет ровно одна дама и ровно один туз.

50. В замке на общей оси пять дисков. Каждый диск разделен на шесть секторов, на которых написаны различные буквы. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открывать.

51. Из 33 букв русского алфавита составляется наугад 5 буквенное слово. Найти вероятность того, что:

а) последняя буква в слове – «а»;

б) последняя буква – гласная;

в) в слове ровно одна бука «а»;

г) в слове ровно одна гласная;

д) в слове ровно две буквы «а»;

е) в слове ровно две гласные.

52. Из 10 арабских цифр составляют наугад 4-хзначное число. Найти вероятность того, что:

а) последняя цифра «2»;

б) число делится на 5;

в) число составлено из разных цифр;

г) число составлено из нечетных цифр;

д) в числе ровно 1 нуль;

е) в числе ровно 3 цифры «3».

54. В мешочке имеется пять одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: О,П,Р,С,Т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных в одну линию кубиков можно прочесть слово “ спорт”.

55. Из слова “НАУГАД” выбирается одна буква случайным образом. Какова вероятность того, что это буква Я? Какова вероятность того, что это гласная?

56. Из карточек разрезной азбуки сложено слово «ОБОРОНОСПОСОБНОСТЬ». Карточки перемешиваются и раскладываются в ряд случайным образом. Какова вероятность того, что получится слово «НОООБСРПОСТЬСБОООН»

57. В лотерее 100 билетов, из них 40 выигрышных. Какова вероятность того, что когда сначала юноша, а потом девушка вытянут по одному билету, то окажется:

а) что юноша взял выигрышный билет, а девушка – нет;

б) что у девушки оказался выигрышный билет;

в) что у обоих билеты не выигрышные.

58. Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 вопросов из 25. Какова вероятность того, что студент вытянет знакомый вопрос, если он тянет билет:

а) первым;

б) вторым;

в) третьим.

59. За круглым столом случайно рассаживаются 6 мужчин и 6 женщин. Какова вероятность того, что мужчины и женщины будут чередоваться друг с другом?

60. Восемь туристов выходят из автобуса и становятся в очередь в кафетерий случайным образом. Найти вероятность того, что два определенных человека А и В окажутся:

а) рядом;

б) отделены друг от друга одним лицом;

в) отделены друг от друга двумя лицами.

61. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется:

а) внутри вписанного в круг квадрата;

б) за пределами вписанного в круг квадрата.

62. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет:

а) в кольцо, образованное построенными окружностями;

б) в малый круг.

63. Внутрь круга радиуса R брошена точка. Найти вероятность, что точка окажется внутри вписанного в круг:

а) квадрата;

б) правильного треугольника.

64. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиуса r < а. Найти вероятность того, что монета не пересеет ни одной прямой.

65. Плоскость разграфлена сетью квадратов прямых, отстоящих друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиуса r < а. Найти вероятность того, что монета не пересеет ни одной стороны квадрата.

66. На отрезок АВ длины L наудачу брошена точка С с координатой х. Найти вероятность того, что меньший из отрезков АС и ВС имеет длину большую, чем .

67. На отрезок ОА длины L числовой оси ОХ наудачу брошены две точки В(х) и С(у), причем . Найти вероятность того, что длина отрезка ВС меньше длины отрезка ОВ.

68. На отрезок ОА длины L числовой оси ОХ наудачу брошены две точки В(х) и С(у). Найти вероятность того, что длина отрезка ВС меньше расстояния от точки О до ближайшей к ней точки.

69. На отрезок ОА длины L числовой оси ОХ наудачу брошены две точки В(х) и С(у). Найти вероятность того, что длина отрезка ВС окажется меньше, чем .

Дата добавления: 2015-07-26