Математическое ожидание дискретной случайной величины

,

где – значение дискретной случайной величины; – вероятности принятия случайной величиной X значений .

Если случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то:

.

Математическое ожидание биномиально распределенной с параметрами n и p случайной величины:

,

где p - вероятность наступления события.

Дисперсия дискретной случайной величины:

или .

Дисперсия биномиально распределенной с параметрами n и p случайной величины:

,

где p - вероятность наступления события.

Среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины:

.

Свойства математического ожидания:

1. M(С) = C, где С – постоянная величина.

2. M(СX) = CM(X), где С – постоянный множитель.

3. M(X+Y) = M(X) + M(Y).

4. M(XY) = M(X) × M(Y), где X, Y – независимые случайные величины.

Свойства дисперсии:

1. D(C) = 0, где С – постоянная величина.

2. , где С – постоянный множитель.

3. D(X+Y) = D(X) + D(Y), где X, Y – независимые случайные величины.

4. D(C+X) = D(X), где С – постоянная величина.

5. D(XY) = D(X)D(Y) + , где X, Y — независимые случайные величины.

Пример. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 2 детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х - числа нестандартных деталей среди двух отобранных.

Решение. Дискретная случайная величина Х – число нестандартных деталей среди двух отобранных принимает следующие значения:

х₁=0 – все детали стандартны из двух отобранных;

х₂=1 – одна из двух отобранных деталей не стандартна;

х₃=2 – обе отобранные детали нестандартны. Так как вероятность отбора нестандартной детали p = 0,1 постоянная, то для определения вероятностей в соответствии с биномиальным законом распределения воспользуемся формулой Бернулли:

P_n(k)= p^k q^n-k, где q = 1 – p = 0,9.

P₂(0)= C (0,1)⁰ (0,9)²=0,81,

P₂(1)=C 0,1 0,9=0,18,

P₂(2)=C (0,1)²(0,9)⁰=0,01.

Проверяем условие нормировки =1.

Имеем, что 0,81+0,18+0,01=1.

Искомый биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:

	х
	p	0,81	0,18	0,01

По формуле:

.

Тот же результат можно было получить, используя формулу

для нахождения математического ожидания биномиально распределенной дискретной случайной величины X.

n = 2 – число испытаний;

p = 0,1 – вероятность успеха в каждом испытании;

M(X) = 2 × 0,1 = 0,2.

Дисперсию найдем по формуле:

.

По формуле для дисперсии биномиального закона:

.

Пример. Дискретные случайные величины X и Y независимы и заданы распределениями:

X					Y
p	0,4	0,6			p	0,2	0,8

Найти распределение случайной величины Z = X + Y.

Решение.Найти закон распределения дискретной случайной величины, значит перечислить все ее возможные значения и рассчитать вероятности, с которыми она эти значения принимает. Значения случайной величины Z получаются путем сложения всех возможных попарных комбинаций значений случайных величин Х и Y.

0 + 1 = 1 0 + 2 = 2 1 + 1 = 2 1 + 2 = 3.

Таким образом, Z принимает три возможных значения: 1, 2 и 3. Найдем вероятности принятия величиной Z этих значений.

Так как Z принимает свое значение 1, тогда и только тогда, когда Х принимает значение 0, а Y – значение 1, то случайное событие «Z = 1» является произведением независимых (из-за независимости Х и Y по условию) случайных событий «Х = 0» и «Y = 1». Используя теорему умножения вероятностей независимых событий имеем:

P(Z=1)=P{(X=0)(Y=1)}=P(X=0)P(Y=1)=0,4 0,2=0,08= .

Так как Z принимает свое значение 2 либо когда X=0, а Y=2, либо когда X=1, а Y=1, причем одновременно это происходить не может, то событие «Z=2» – является суммой несовместных событий (X=0)(Y=2) и (X=1)(Y=1), и его вероятность можно найти с помощью теоремы сложения вероятностей несовместных событий:

P(Z=2)=P{(X=0)(Y=2)+(X=1)(Y=1)}=P{(X=0)(Y=2)}+P{(X=1)(Y=1)}=

=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)=0,4 0,8+0,6 0,2=0,32+0,12=0,44= .

Рассуждая аналогично, найдем:

P(Z=3)=P{(X=1)(Y=2)}=P(X=1)P(Y=2)=0,6 0,8=0,48= .

Проверим выполнение условия нормировки: =0,08+0,44+0,48=1.

Таким образом, искомый ряд распределения имеет вид:

Z
p	0,08	0,44	0,48

Непрерывными случайными величинами называются случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток.

Функцией распределения непрерывной случайной величины называют функцию F(x), определяемую также как и функция распределения дискретной случайной величины, т.е.

F(x) = P(X < x).

Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется первая производная от функции распределения, т.е.:

,

при этом функция F(x) непрерывно дифференцируемая функция для непрерывных случайных величин.

Свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательная функция, т.е.

.

2. Условие нормировки: .

3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал (а, b) определяется формулой:

.

4. Через известную плотность распределения непрерывной случайной величины можно найти ее функцию распределения по формуле:

.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины:

.

Дисперсия непрерывной случайной величины:

или

.

Примечание. Свойства математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины совпадают со свойствами этих характеристик для дискретных случайных величин.

Пример. Случайная величина X задана плотностью распределения:

Найти:

1.Коэффициент А, при котором f(x) будет плотностью распределения.

2. Функцию распределения F(x).

3. Вероятность того, что в результате испытания X примет значение

а) меньше 0,2; б) меньше 3.

4. Найти математическое ожидание.

5. Найти дисперсию.

Решение:

1.

Так как по условию нормировки , вычислим А из этого соотношения:

.

Откуда .

2. Функция распределения непрерывной случайной величины X при известной плотности распределения f(x) определяется из формулы:

.

Данная подынтегральная функция принимает три различных вида на промежутке от - ¥ до ¥.

Рассмотрим отдельно каждую ситуацию:

а) при :

;

б) при :

;

в) при :

.

Таким образом:

3. По определению:

, тогда

.

.

4. Математическое ожидание непрерывной случайной величины X ищем по формуле:

.

5. Дисперсию X ищем по формуле:

.

Дата добавления: 2015-07-26