Пример.

Из 1, 2, 3, 4 упорядоченных пар можно составить .

12 13 14 23 24 34

21 31 41 32 42 43

При таком расположении заметно, что эти пары можно составить, выбрав сначала в пару какие-то 2 элемента, а затем составить все возможные векторы, переставив данный состав 2! различными способами. Значит, если считать пары, отличающиеся только составом, то их будет в 2! раз меньше, чем .

Пример. Сколько существует различных способов заполнения карточек “Спортлото” 6 из 49? Нам надо выбрать неупорядоченные подмножества размерности k = 6 из множества Х, n= 49.

.

ЗАДАЧИ

1. Определить, обладает ли следующая группа событий свойствами группы случаев:

а) Испытание состоит в бросании 2х монет.

А - выпал хотя бы один герб;

А - выпала хотя бы одна решка.

б) Испытание состоит в 2х выстрелах по мишени.

А - ни одного попадания;

А - ровно одно попадание;

А - ровно два попадания.

в) Испытание состоит в бросании игральной кости.

А - выпало нечетное число очков;

А - выпало четное число очков.

г) Испытание состоит в бросании 3х монет.

А - не выпало гербов;

А - выпал один герб;

А - выпало два герба;

А - выпало 3 герба.

д) Испытание состоит в извлечении 2х карт из колоды.

А - выпали две черные карты;

А - выпали две красные карты.

е) Испытание состоит в бросании игральной кости.

А - выпало не более 2х очков;

А - выпало больше 2х и меньше 5и очков;

А - выпало больше 4х очков.

_ж) Испытание состоит в бросании 3х монет

А - выпало два герба;

А - выпало две решки.

з) Испытание состоит в извлечении 2х карт из колоды.

А - выпали две черные карты;

А - выпала дама;

А - выпал туз.

2. Среди студентов, собравшихся на лекцию по ТВ, выбирают наудачу одного. Событие А = ²выбран юноша²; В = ²не курит²; С = ²живет в общежитии².

а) Описать событие .

б) При каком условии будет иметь место тождество АВС = А?

в) Когда будет справедливо соотношение ?

г) Может ли быть верным равенство , если все юноши курят?

3. Мишень состоит из 10 кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусом , причем . Пусть событие - ²попадание в круг радиуса ². Что означают события: ; ; ?

4. Брошены две монеты. Рассматриваются события:

А – выпал «герб» на первой монете;

В – выпала «решка» на первой монете;

С – выпал «герб» на второй монете;

D – выпала «решка» на второй монете;

E – выпал хотя бы один «герб»;

F – выпала хотя бы одна «решка»;

G – выпали два «герба»;

H – выпал ровно один «герб»;

I – не выпало «гербов».

Какими событиями этого списка являются события:

а) А+C; б) АС; в) B+D; г) BD; д) A+E; е) AE; ж) В+F; з) DF; и) AD+BC.

5. Пусть А, В, С - три произвольных события. Записать выражения для событий, состоящих в том, что из событий А, В, С:

а) произошло только А;

б) произошло А и В, но С не произошло;

в) все три события произошли;

г) произошло, по крайней мере, одно из этих событий;

д) произошло, по крайней мере, два события;

е) произошло одно и только одно событие;

ж) произошло два и только два события;

з) ни одно событие не произошло;

и) произошло не более двух событий.

6. В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. 6 человек из них знают английский, 6 – немецкий, 7 – французский, 4 – английский и немецкий, 2 – английский и французский, 3 – немецкий и французский, 1 человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знает только английский язык? Сколько человек знает только один язык?

7. Староста одного класса дал следующие сведения об учащихся: ”В классе учатся 45 школьников, в том числе 25 мальчиков. 30 школьников учатся на хорошо и отлично, в том числе 16 мальчиков. Спортом занимаются 28 учеников, в том числе 18 мальчиков и 17 учеников, учащихся на хорошо и отлично. 15 мальчиков учатся на хорошо и отлично и занимаются спортом.”

Докажите, что в этих сведениях есть ошибка.

8. Сколько чисел среде первых 100 натуральных чисел не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7?

9. На железнодорожной станции имеется 10 путей. Сколькими способами можно расставить на них 3 состава?

10. Десять человек случайным образом рассаживаются за круглый стол. Сколькими способами это можно сделать? Сколькими способами это можно сделать так, что бы два определенных человека А и В оказались сидящими рядом? Что бы три определенных человека А, В и С оказались сидящими рядом?

11. Служащий банка утратил 5-значный код одного из сейфов, состоящий из различных цифр. Сколько вариантов он должен перепробовать, чтобы открыть сейф?

12. Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Сколькими способами это можно сделать? Сколькими способами это можно сделать так, чтобы карточки с буквами располагались в порядке следования букв заданного слова: а) «событие»; б) «статистика».

13. На карточках написаны буквы: А, Е, У, У, К, К, К, Р. Карточки перемешаны и разложены в ряд. Какова вероятность, что получится слово “кукареку”.

14. Монета брошена дважды. Сколькими способами это можно сделать? Сколькими способами это можно сделать так, что хотя бы один раз появиться герб.

15. Монета брошена три раза. Сколькими способами это можно сделать? Сколькими способами это можно сделать так:

а) что хотя бы один раз появиться герб;

б) что герб появится только один раз;

в) что решка появится ровно два раза.

16. Из 30 букв алфавита составлено слово длины 6. Сколькими способами это можно сделать? Сколькими способами это можно сделать так, чтобы:

а) в слове была ровно одна буква А;

б) в слове было ровно две буквы А;

в) в слове было ровно 5 букв А;

г) в слове была хотя бы одна буква А.

17. Четверо студентов сдали экзамены. Сколькими способами им могут быть поставлены отметки, если известно, что никто из них не получил неудовлетворительной отметки?

18. Имеется три волчка с 6, 8 и 10 гранями соответственно. Сколькими различными способами они могут упасть? Сколько способов выпадения, если, по крайней мере, два волчка упали на сторону, помеченную “1”?

19. Сколько чисел меньших миллиона можно написать с помощью цифр:

а) 9,8,7;

б) 9,8,0 (цифра “0” не должна быть первой)?

20. Во скольких десятизначных числах сумма цифр равна 3 (первая цифра отлична от нуля)?

21. Сколько можно составить различных пятизначных чисел, делящихся на 25 и не содержащих цифры “0”, если каждая цифра в записи числа может встречаться несколько раз?

22. Сколькими способами среди первых 100 натуральных чисел можно выбрать двузначное число, делящееся:

а) на 8;

б) на 8 и на 3;

в) на 2, 4 и 6.

23. Монета бросается до тех пор, пока “герб” или “решка” не появится во второй раз. Сколько существует различных результатов данного эксперимента?

24. На карточках разрезной азбуки написано слово “Абакан”. Сколькими способами можно сложить эти карточки случайным образом так, чтобы согласные буквы шли в алфавитном порядке?

25. У переплетчика 12 различных книг и три цвета переплетной бумаги: красный, зеленый и синий. Сколькими способами он может переплести книги так, чтобы:

а) все книги были переплетены в один цвет;

б) все книги, кроме одной были переплетены в красный цвет, а одна в синий;

в) все книги, кроме одной были переплетены в синий цвет;

г) все книги были переплетены в красный или синий цветa;

д) все книги были переплетены в красный и синий цвета;

е) все книги были переплетены в два каких-нибудь цвета;

ж) в каждый цвет была переплетена хотя бы одна книга.

26. Во скольких десятизначных числах сумма цифр равна 5 (первая цифра отлична от нуля)?

27. 10 спортсменов выступают на соревнованиях по спортивной гимнастике. После их выступления трое судей, не сговариваясь, располагают их по 10 местам, согласно месту, которое, по мнению каждого судьи, спортсмен занял. Таким образом, получается три списка спортсменов. Первый приз будет присужден тому, кого назвали первым хотя бы двое из судей. Если этого не произойдет, то судейство считается не состоявшимся и приз не присуждается никому. В какой доле случаев приз будет получен?

28. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Сколько среди этих кубиков имеют окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три: г) ни одной.

29. Человек забыл последнюю цифру телефонного номера. Сколькими способами он может сделать набор, для того чтобы попасть в нужное место не более, чем с третьего раза?

30. Из тщательно перемешанного полного набора домино в 28 костей наудачу извлечена одна кость. Сколькими способами можно приставить к первой наудачу извлеченную вторую кость можно, если первая кость была:

а) дублем;

б) не дублем.

31. Тридцать пять учащихся класса по итогам года имели “5” по

математике – 14 человек;

физике – 15 человек;

химии – 18 человек;

математике и физике – 7 человек;

математике и химии – 9 человек;

физике и химии – 6 человек;

по всем трем предметам – 14 человек;

Сколько учеников данного класса

а) не имеет “5” по указанным предметам;

б) имеет “5” только по математике;

в) имеет “5” не менее, чем по 2-м предметам.

32. В барабане револьвера 7 гнезд. В пяти из них – патроны, а остальные пусты. Барабан приводится во вращение, в результате чего, напротив ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. Затем нажимается курок. Если гнездо пустое – выстрела не произойдет, если в нем патрон – выстрел не произойдет. Сколькими способами можно раскрутить барабан 2 раза так, что:

а) выстрелов не будет;

б) первый выстрел будет, а второго нет;

в) первого выстрела не будет, а второй будет;

г) произойдут оба выстрела.

33. Сколько слов можно получить переставляя буквы слова “парабола”, “метаморфоза”, “обороноспособность”?

34. Сколькими способами можно расставить на первой горизонтали шахматной доски короля, ферзя, две ладьи, двух слонов и двух коней? Каким будет ответ, если Фигур будет меньше 8, например, 3 пешки и две ладьи?

35. У мамы было 2 одинаковых яблока, 3 одинаковые груши и 4 одинаковых апельсина. Каждый день она давала своему ребенку по одному фрукту. Сколькими способами это возможно сделать?

36. Для премии на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 4 экземпляра другой и 8 экземпляров третьей. Сколькими способами могут быть распределены эти книги между 30 участниками, если каждому вручается не более одной книги?

37. Найдите сумму четырехзначных чисел, получаемых при всевозможных перестановках цифр 1, 1, 4, 4. То же самое для цифр 0, 0, 4, 4.

38. Сколькими способами можно переставить буквы слова “огород”, чтобы три буквы “о” не шли подряд?

39. Сколькими способами можно переставить буквы слова “обороноспособность”, чтобы две буквы “б” не шли подряд?

Дата добавления: 2015-07-26