Повторение испытаний

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться (то есть появится событие ). При этом вероятность события А в каждом испытании одна и та же и равна р. Требуется вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз.

Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p, событие А наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности) равна:

, где q=1– p.

Формула Пуассона. В том случае, когда вероятность появления события p мала (p < 0,1), а число независимых испытаний велико, для оценки вероятности появления события ровно k раз в n независимых испытаниях используется асимптотическая формула Пуассона:

, где .

Значения при фиксированных k и можно найти с помощью таблицы 1 приложения.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если число независимых испытаний велико, а вероятность появления события А в каждом из них постоянна и равна p (0 < p < 1), то вероятность того, что в n независимых испытаниях, событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n):

где

Значения функции можно найти с помощью таблицы 2 приложения. Данная формула, в отличие от формулы Бернулли, используется при больших n и k.

Интегральная теорема Лапласа. Если число независимых испытаний велико, а вероятность появления события А в каждом из них постоянна и равна p (0 < p < 1), то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз, приближенно равна

P_n(k₁ k₂)» Ф(x ^²) – Ф(x^¢),

где – функция Лапласа (смотри приложение, таблицу 3);

Замечание. Если функция Лапласа задана выражением:

Ф*(x)= , то Ф*(x) = 0,5 + Ф(x).

Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0<p<1), абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события А от его постоянной вероятности не превысит положительного числа e, приближенно равна удвоенной функции Лапласа, т.е.

Вероятность появления хотя бы одного события. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна p, событие наступит хотя бы один раз, равна

P_n(k 1) = 1 – qⁿ, где q = 1 – p.

Пример. Игральная кость брошена четыре раза. Найти вероятность того, что шестерка появится не более двух раз.

Решение:

Пусть событие В - шестерка появится не более двух раз. В является суммой несовместных событий

– шестерка не появится ни разу;

– шестерка появится ровно один раз;

– шестерка появится ровн

,0о два раза.

Вероятность события можно найти по формуле Бернулли. Рассуждаем так.

Произведенное испытание – бросание игральной кости.

Событие А (успех) – выпадение шестерки. Событие (неудача) – выпадение любого числа очков, кроме шести. По классическому определению вероятности имеем:

.

Таких испытаний, согласно условию, производится четыре. Тогда вероятность того, что в 4-х независимых испытаниях будет 0 успехов, найдем так:

.

Аналогично рассуждая, получим:

,

.

Используя теорему сложения несовместных событий, получим:

= .

Пример. Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,04.

Решение. По условию задачи задано, что: n=625; p=0,8; e=0,04.

Отсюда q =1– p = 0,2. Требуется найти вероятность:

?

Для решения указанной задачи воспользуемся формулой, определяющей оценку отклонения относительной частоты от постоянной вероятности, т.е.:

Ф(х) – интегральная функция Лапласа. Найдем аргумент функции Лапласа:

х = e =0,04 =2,5

По таблице 3 приложения для функции Лапласа найдем, что Ф(2,5)=0,4983, т.е. 2Ф(х)=0,9876. Итак, искомая вероятность:

P

ЗАДАЧИ

114. Монета бросается 5 раз. Какова вероятность того, что герб появится:

а) ровно 3 раза;

б) не более двух раз;

в) хотя бы один раз.

г) Что вероятнее: выиграть у равносильного противника 2 партии в шахматы из пяти или 3 из семи?

115. Машина экзаменатор содержит восемь вопросов, на каждый из которых предполагается 3 варианта ответов. Положительная оценка выставляется в том случае, когда экзаменующийся правильно отвечает не менее чем на 6 вопросов. Какова вероятность получить положительную оценку, выбирая ответы наудачу?

116. В мешке смешаны нити, среди которых 30% белых, а остальные красные. Определить вероятность того, что вынутые наудачу две нити будут: а) одного цвета; б) разных цветов.

117. Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0.004. Найти вероятность того, что после облучения из 500 бактерий останется не менее 3 бактерий.

118. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0.004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.

119. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0.02. Какое из двух событий вероятнее: в течение одной минуты позвонит 3 абонента или 4 абонента?

120. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0.01. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят не менее 5 абонентов?

121. На факультете учатся 500 студентов. Найти вероятность того, что первое сентября является днем рождения:

а) трех студентов; б) не менее трех студентов.

122. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0.2. Найти вероятность того, что событие наступит 20 раз в 100 испытаниях.

123. Монета бросается 100 раз. Вычислить вероятность того, что число появлений герба будет заключаться между 40 и 60.

124. При вытачивании болтов наблюдается в среднем 10 % брака. Исследуется партия в 400 болтов. Какова вероятность того, что отклонение относительной частоты события “болт с дефектом” от вероятности этого события не превысит 0.05?

125. Бросают монету, требуется определить число опытов, достаточное для того, чтобы с вероятностью, большей 0.9, можно было ожидать, что относительная частота будет отличаться от вероятности выпадения ”герба”, не более, чем на 0.2 по абсолютной величине.

126. Монету бросают 1000 раз. В каком интервале с вероятностью 0.97 будет находиться частота выпадения «герба»?

127. К пульту охранной системы предприятия подключено 2000 датчиков, причем вероятность появления тревожного сигнала на каждом из них равна 0.0005. Определить вероятность тревоги (для чего достаточно хотя бы одного сигнала).

128. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0.01. Определить вероятность того, что сообщение из 100 знаков содержит ровно три искажения.

129. Вероятность госпитализации пациента при эпидемии гриппа равна 0.002. Найти вероятность того, что из 2000 заболевших поликлиника направит на госпитализацию не более 5 пациентов.

130. В студии телевидения 3 телевизионные камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0.6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.

131. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0.2. Произведено 900 испытаний. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклоняется от его вероятности не больше, чем на 0.04.

132. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из 4-х посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.

133. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбита, равна 0.003. Найти вероятность того, что магазин получил разбитых бутылок: а) ровно две; б) не менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну.

134. В хлопке число длинных волокон составляет 80%. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 5 волокон длинных окажется: а) три; б) не более двух.

135. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено изделий: а) ровно три; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы одно.

136. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,25. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0.002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

137. Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0.0001. Найти вероятность того, что тираж содержит не менее пяти бракованных книг.

138. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0.001. Найти вероятность попадания в цель двух и более пуль, если число выстрелов равно 5000.

139. В обществе из 500 человек найти вероятность того, что у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день равна 1/365.

140. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0.8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0.95 можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не более чем на 0.02?

141. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной кости.

142. Отдел технического контроля проверяет партию из 100 деталей. Вероятность того, что деталь стандарта равна 0.75. Найти вероятность того, что стандартных деталей в партии окажется ровно 80.

143. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0.2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров: а) не более одного потребуют ремонта; б) хотя бы один потребует ремонта.

144. Игральная кость подброшена 200 раз. Найти вероятность того, что цифра «6» выпала более 30 раз, но не более 40 раз.

145. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0.01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно 4 бракованных.

146. Вероятность неточной сборки прибора равна 0.2. Найти вероятность того, что среди 500 приборов окажется от 410 до 430 (включительно) точных.

147. Игральную кость бросают 600 раз. В каких границах будет находиться число выпадений «6» с вероятностью 0.9876?

148. На факультете 20 % студентов выходцы из сельской местности. В каких пределах с вероятностью 0.9 находится число городских жителей среди студентов из группы в 28 человек?

Дата добавления: 2015-07-26