Критерии для оценки разности между двумя математическими ожиданиями

Эта ситуация наиболее часто возникает, когда между элементами выборок наблюдаются парные результаты измерений, выполненных на одном и том же множестве элементов. При этом представляет интерес разность между величинами, а не сами величины как таковые.

Например, можно сравнить качество результатов работы двух рекламных кампаний, используемых для одного и того же процесса или продукта различные виды рекламы. На практике так же представляет интерес анализа зависимых повторных измерений одних и тех же свойств продукта.

Независимо от подхода к решению задачи, цель исследования двух зависимых выборок - это выявление различия между результатами двух измерений, характеризующих качество свойства или процесса.

Для того чтобы определить, существует ли разница между двумя группами событий, сначала вычисляют разности между отдельными элементами каждой пары событий.

Пусть Х _11, Х ₁₂ ,.,., Х _1n — n наблюдений из одной выборки, а Х ₂₁, Х ₂₂ , …, X _2n — n наблюдений из второй выборки, соответствующих значениям из первой выборки. Вычислим попарные разности между соответствующими элементами обеих выборок:

Для оценки средней разности между средними значениями двух зависимых выбо­рок величины R _i рассматриваются как наблюдения, принадлежащие одной и той же выборке. Если стандартное отклонение разностей известно, то вычисляется Z статистика[10], которая для рассматриваемой ситуации имеет следующий вид:

, (10)

где

гипотетическое математическое ожидание;

— стандартное отклонение генеральной совокупности разностей.

Как уже упоминалось, в большинстве ситуаций стандартное отклонение генеральной совокупности неизвестно. Единственным параметром, доступным исследователю, являются выборочные статистики, например, выборочное среднее, выборочная дисперсия и выборочное стандартное отклонение.

Если разности предполагаются случайными и независимыми величинами, имеющими нормальное распределение, для оценки разности между математическими ожиданиями зависимых генеральных совокупностей можно применить t- критерий. Для этого следует вычислить t -статистику, имеющую распределение Стьюдента с n -1 степенями сво­боды.

Несмотря на то, что генеральная совокупность предполагается нормально распределенной, на практике при достаточно больших объемах выборки и умеренной асимметрии выборочное распределение средней разности R такжеможно аппроксимировать t -распределением Стьюдента.

Чтобы проверить нулевую и альтернативную гипотезы:

где

необходимо вычислить t -статистику по формуле (10).

По определению t -статистика с n -1 степенями свободы имеет вид:

, (9)

где

При заданном уровне значимости α нулевая гипотеза отклоняется, если t -статистика больше верхнего критического значения t _n-1 или меньше нижнего критического значения t _{n - 1} распределения Стьюдента с n -1 степенями свободы. Иначе говоря, решающее правило выглядит следующим образом:

нулевая гипотеза Н ₀ отклоняется, если t > t _n-1 или t < - t _n-1;

в противном случае нулевая гипотеза не отклоняется.

Чтобы продемонстрировать применение t- критерия для оценки разности между двумя математическими ожиданиями, продолжим рассмотрение примеров из области образовательной деятельности.

Дата добавления: 2015-07-15