Упражнение 1.

В составе одной таблетки нового полусинтетического антибиотика Аугментин должно содержаться 125 мг клавулановой кислоты. Для всех возможных видов дозировок лекарства определены вариации веса для клавулановой кислоты, которые выражаются стандартным отклонением σ = ± 1 мг. Процесс качества производства антибиотика состоит в том, что периодически контролируются приготовленные дозы клавулановой кислоты. Каждая доза взвешивается, вычисляется средний вес выборки (), а затем оценивается - существенно ли отклонение среднего веса от номинальногозначения μ = 125 мг. По результатам этих вычислений принимается решение: нулевая гипотеза верна или ложна.

Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются так:

H ₀: μ = 125,

H ₁: μ ≠ 125.

Если стандартное отклонение σ известно, а выборочное распределение средних значений подчиняется нормальному закону, то для проверки гипотезы о качестве процесса производства нового антибиотика может быть применен Z -критерий о математическом ожидании при известном стандартном отклонении:

(1)

Числитель формулы (1) представляет собой отклонение выборочного среднего от математического ожидания генеральной совокупности. Знаменатель формулы (1) равен стандартному отклонению σ (принятому для всей генеральной совокупности лекарств), деленному на корень квадратный из объема выборки n. Статистику Z именуют квантилем нормального распределения. Статистика Z определяет площадь под кривой нормального распределения, внутри которой находится значение .

Пусть в процессе контроля качества приготовления доз клавулановой кислоты для выборки объема n = 30 получено среднее = 124,79 мг.

Необходимо принять решение в пользу нулевой или альтернативной гипотезы, определив, существенно ли отклонение 124,79 мг от величины 125 мг?

По формуле (1) имеем:

Чтобы принять окончательное решение надо сравнить расчетное значение Z с критическим Z _кр., величина которого определяет принятую достоверность контроля. Если уровень значимости α = 0,05, то размер критической области (области отклонения гипотезы H ₀) также равен 0,05. Следовательно, можно определить критическое значение нормального распределения, выраженное через стандартизованную Z -статистику. Поскольку критическая область разделена на две части (так называемый двусторонний критерий), число 0,05 также следует разделить на два. Таким образом, площадь критической области, ограниченная хвостом гауссовой кривой и нижним критическим значением, равна 0,025. Соответственно, площадь области, ограниченной гауссовой кривой и верхним критическим значением, равна 0,975. По таблице, содержащей значения стандартизованного нормального распределения, легко определить критические значения, разделяющие области принятия и отклонения гипотезы. Они равны -1,96 и +1,96.

Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 2. Если значение статистики Z меньше -1,96 или больше +1,96, величина «существенно» (статистически) далека от значения μ = 125, и гипотезу H ₀ нельзя признать истинной.

Следовательно, решающее правило выглядит следующим образом:

Если Z > +1,96 или Z < -1,96, гипотеза H ₀ отклоняется; в противном случае она не отклоняется.

Поскольку Z = - 1,15, и -1,96 < -1,15 < +1,96, то нет оснований для отклонения гипотезы H ₀. Таким образом, следует признать, что средний вес приготавливаемых доз клавулановой кислоты равен 125 мг. Чтобы учесть ошибку 2-го рода, результат необходимо сформулировать так: «Гипотеза о том, что средний вес доз отличается от 125 мг, не имеет достаточных подтверждений».

Алгоритм проверки гипотезы о математическом ожидании при известном стандартном отклонении имеет следующий вид:

1. Формулируется нулевая гипотеза H ₀ о параметрах генеральной совокупности.

2. Формулируется альтернативная гипотеза H ₁ о параметрах генеральной совокупности.

3. Выбирается уровень значимости α. Как правило, его конкретная величина рядом значений: 0,05; 0,01; 0,1.

4. Выбирается требуемый статистический метод и соответствующая статистика, положенная в основу критерия. Поскольку в нашем примере стандартное отклонение известно заранее, для проверки критерия применяется Z -статистика.

5. Устанавливаются критические значения, разделяющие плоскость на области отклонения и принятия гипотезы. В нашем примере критическими значениями являются числа -1,96 и +1,96, поскольку статистика Z имеет стандартизованное нормальное распределение, уровень значимости α = 0,05.

6. Определяется объем выборки n, зависящий от величины риска, вызванного ошибками 1-го и 2-го рода (т.е. от величин α и β), а также от затрат, необходимых для ее формирования.

7. По выборке вычисляется значение Z - статистики, положенной в основу критерия. В нашем примере Z = -1,15.

8. Определяется область, в которую попадает вычисленное значение статистики, положенной в основу критерия. Для этого статистика сравнивается с критическими значениями. В нашем примере вычисленное значение Z =-1,15 лежит в области принятия гипотезы, поскольку

-1,96 < - 1,15 < +1,96.

9. Принимается статистическое решение. Если статистика, положенная в основу критерия, попадает в область принятия гипотезы, нулевую гипотезу H ₀ отклонять нельзя. В противном случае нулевая гипотеза отклоняется. В нашем примере нулевая гипотеза не была отвергнута.

10. Формулируется статистическое решение, учитывающее специфику задачи. В нашем примере гипотеза о том, что средний вес доз отличается от 125 мг, не имеет достаточных подтверждений.

Рис. 2. Области принятия и отклонения гипотезы о математическом ожидании при известном стандартном отклонении и уровне значимости, равном 0,05

Дата добавления: 2015-07-15