Упражнение 2.

Чтобы проиллюстрировать применение t -критерия, рассмотрим задачу аудиторской проверки некоторой компании «ВЕК». Для проверки аудитор извлекает из информационной системы выборку накладных, заполненных в течение последнего месяца.

Средняя сумма накладных за последние пять лет равна 120 тыс. руб. Аудитор должен оценить, изменилась ли сумма накладных. Иначе говоря, в ходе проверки гипотезы требуется доказать, что средняя сумма накладных увеличивается или уменьшается.

Для проверки гипотезы с помощью двустороннего критерия применяем следующий алгоритм.

1. Формулируем нулевую и альтернативную гипотезы.

H ₀: μ = 120 тыс. руб.,

H ₁: μ ≠ 120 тыс. руб.

Если нулевая гипотеза отклоняется, значит, у нас есть веские доказательства того, что средняя сумма накладных отличается от 120 тыс. руб. Если нулевая гипотеза не отклоняется, значит, у нас нет достаточных доказательств, чтобы утверждать, будто средняя сумма накладных отличается от 120 тыс. руб.

2. Полагаем α = 0,05.

3. Из генеральной совокупности накладных извлекается случайная выборка. Предположим, что ее размер равен n = 12 накладных.

4. Поскольку предполагается, что генеральная совокупность является нормально распределенной, применяем t -критерий.

5. Для распределения Стьюдента, фрагмент которого приведен в табл. 2, определяем критически значения для t -распределения с n -1 степенями свободы и α = 0,05. Поскольку альтернативная гипотеза H ₁: μ ≠ 120 тыс. руб. является ненаправленной, область отклонения гипотезы в t -критерии разделяется на две части, ограниченные левым и правым хвостами t -распределения. Площадь каждой из областей равна 0,025. Поэтому критические значения t -распределения с 12-1=11 степенями соответственно равны: - 2,2010 и + 2,2010.

6. По табл. 2 определяем, что критическое значение равно ± 2,2010.

Решающее правило таково:

если t < - t ₁₁ = - 2,2010 или если t > t ₁₁ = + 2,2010, то нулевая гипотеза отклоняется;

в противном случае она не отклоняется.

Ниже приведены данные о суммах накладных расходов (тыс. руб.) из выборки, состоящей из 12 накладных.

108,98

152,22

111,45

110,59

127,46

107,26

93,32

91,97

111,56

75,71

128,58

135,11

Результаты вычислений, связанных с аудиторской проверкой компании выглядят следующим образом.

тыс. руб.

тыс. руб.

В соответствии с формулой (3.5) t -статистика равна:

.

Таблица 2

Вычисление критического значения t -статистики для интегральной площади, равной 0,025, при 11 степенях свободы

Площади, ограниченные правым хвостом распределения
Степени свободы	0,25	0,10	0,05	0,025	0,01	0,005
	1,0000	3,0777	6,3138	12,7062	31,8207	63,6574
	0,8165	1,8856	2,9200	4,3027	6,9646	9,9248
	0,7649	1,6377	2,3534	3,1824	4,5407	5,8409
	0,7407	1,5332	2,1318	2,7764	3,7469	4,6041
	0,7267	1,4759	2,0150	2,5706	3,3649	4,0322
	0,7176	1,4398	1,9432	2,4469	3,1427	3,7074
	0,7111	1,4149	1,8946	2,3646	2,9980	3,4995
	0,7064	1,3968	1,8595	2,3060	2,8965	3,3554
	0,7027	1,3830	1,8331	2,2622	2,8214	3,2498
	0,6998	1,3722	1,8125	2,2281	2,7638	3,1693
	0,6974	1,3634	1,7959	2,2010	2,7181	3,1058

По результатам вычислений имеем, что тестовая статистика попадает в область принятия гипотезы:

- 2,201 < t = - 1,19 < 2,201.

Поэтому аудитор не имеет оснований утверждать, что средняя сумма накладных за последний месяц значительно отличается от 120 тыс. руб., и гипотеза Н ₀ не отклоняется.

Описательные статистики, полученные с помощью программы Microsoft Excel на основе данных о накладных, приведены в табл. 3.

Таблица 3

Столбец накладных
Среднее	112,8508
Стандартная ошибка 20,80:√12=6,004	6,003863
Медиана	111,02
Стандартное отклонение	20,79799
Дисперсия выборки	432,5565

Выборочный t -критерий применяется в тех ситуациях, когда стандартное отклонение генеральной совокупности σ неизвестно и оценивается с помощью выборочного стандартного отклонения S. Этот критерий является классической параметрической процедурой. Он сопровождается большим количеством строгих ограничений, гарантирующих корректность полученных результатов. Основное ограничение – это предположение о том, что выборка принадлежит нормально распределенной генеральной совокупности. На практике, бывает достаточно того, что выборка весьма велика, а распределение не слишком асимметрично.

Условия, налагаемые на применение t -критерия, можно проверить с помощью программы Microsoft Excel. Предположение о нормальности распределения можно проверить несколькими способами. Чтобы убедиться, насколько точно выборочные данные соответствуют теоретическим свойствам нормального распределения, можно воспользоваться многими научными методами, среди которых особо следует выделить критерий χ ².

1.8. Применение Z -критерия для проверки гипотезы о доле признака в генеральной совокупности

Ранее уже рассматривалась проверка гипотез о доле признака с использованием гипергеометрического распределения. При этом был отмечен основной недостаток этой методологии, заключающийся в громоздкости вычислений. Даже при сравнительно небольших размерах генеральной совокупности. В то же время, в теории статистических решений показано, что если значения доли признака d в выборке размера п и величина п – d ^[5] больше пяти, выборочное распределение доли хорошо аппроксимируется стандартизованным нормальным распределением.

Чтобы оценить разность между фактической долей признака р _n в выборке и гипотетическим параметром генеральной совокупности р, применяется Z - критерий для проверки гипотезы о доле признака:

(3)

где р_n – наблюдаемая доля признака в выборке объема п;

р — гипотетическая доля признака в генеральной совокупности;

Z – статистика, аппроксимируемая стандартизованным нормальным распределением.

Статистику, положенную в основу Z -критерия, можно записать следующим образом.

, т.к. (4)

(5)

где npq = np (1- p) - дисперсия биноминального распределения.

В качестве иллюстрации рассмотрим решение следующего упражнения.

Дата добавления: 2015-07-15