II. Проверка гипотез для оценки свойств двух генеральных совокупностей

2,1. Использование Z-критерия ^[6] для оценки разности между двумя математическими ожиданиями

Проверка гипотез основана на предположениях и подтверждающемподходе к анализу данных. В этом разделе описываются процедуры проверки гипотез на основе двух числовых выборок, извлеченных из двух генеральных совокупностей. Например, равны ли средние значения оценок по семестрам для 2-х групп, обучающихся по специальности «Управление качеством» в различных вузах? Или можно ли считать, что качество обучения, качество производства, качество предоставляемой услуги в 2-х сравниваемых организациях, предназначенных для выполнения идентичных задач, статистически неразличимы. Здесь некорректно говорить о равенстве выполняемых процессов различными организациями. Любая работа, любой процесс, даже если они периодически выполняется одной и той же организацией, будут различаться, но их различие не сказывается на достижении конечного результата, или не может быть выявлено с помощью используемых методических и инструментальных средств. Поэтому о статистической устойчивости процессов или статистическом равенстве получаемых результатов судят с определенной степенью доверия. В дальнейшем, если не будет специальных оговорок, за доверительный уровень будет принят 95% доверительный интервал, которому соответствует уровень значимости α = 0,05.

Предположим, что из первой генеральной совокупности извлекается случайная выборка, имеющая объем n ₁ а из второй — случайная выборка, объем которой равен n ₂. Требуется проанализировать данные, принадлежащие каждой выборке. Обозначим математическое ожидание первой генеральной совокупности через µ₁ а стандартное отклонение — через s₁. Аналогично математическое ожидание второй генеральной совокупности обозначим символом µ ₂, а стандартное отклонение — s₂.

Статистика, положенная в основу критерия для проверки равенства математических ожиданий двух генеральных совокупностей, основана на оценки величины разности между выборочными средними , выраженной в долях стандартного отклонения. По центральной предельной теореме при достаточно больших объемах выборок эта статистика имеет стандартизованное нормальное распределение. Следовательно, для оценки разности двух математических ожиданий можно сформулировать следующий Z – критерий:

(6)

2.2. Применение t -критерия [7] для оценки разности между математическими ожиданиями с помощью суммарной дисперсии

В большинстве ситуаций дисперсии и стандартные отклонения двух генеральных совокупностей неизвестны. Единственная информация, доступная исследователю, — выборочные средние, выборочные дисперсии и выборочные стандартные отклонения. Если выборки являются случайными, независимыми и извлечены из нормально распределенных реальных совокупностей, имеющих одинаковую дисперсию (т.е. s₁² = s₂²),для проверки гипотезы о значимом различии между математическими ожиданиями двух генеральных совокупностей можно применять t -критерий, использующий суммарную дисперсию.

Нулевая гипотеза состоит в том, что математические ожидания двух независимых генеральных совокупностей не отличаются друг от друга:

H ₀: µ₁ = µ₂ или µ₁ - µ₂ = 0.

Альтернативная гипотеза заключается в том, что математические ожидания не совпадают:

H ₁: µ₁ ≠ µ₂ или µ₁ - µ₂ ≠ 0.

t -критерий для оценки разности между двумя математическими ожиданиями с помощью суммарной дисперсии имеет вид:

, (7)

где - выборочная cсуммарная дисперсия;

S ₁² — дисперсия выборки из первой генеральной совокупности;

n ₁ — объем выборки, извлеченной из первой генеральной совокупности;

S ₂² — дисперсия выборки из второй генеральной совокупности;

n ₂ — объем выборки, извлеченной из второй генеральной совокупности.

Статистика t, зависящая от суммарной дисперсии, имеет t -распределение Стьюдента с n ₁+ n ₂-2 степенями свободы. При заданном уровне значимости a двусторонний критерий отклоняет нулевую гипотезу, если t -статистика больше верхнего критического значения или меньше нижнего критического значения. Процедуры Excel по проверке гипотезы о разности математических ожиданий двух генеральных совокупностейс помощью t - критерия, использующего суммарную дисперсию, приведены в табл. 3.10.

2.3. Использование t -критерия для оценки разности между двумя математическими ожиданиями с помощью раздельной дисперсии

Если дисперсии двух генеральных совокупностей не одинаковы[8], то объединение их в одну суммарную дисперсию , не вполне корректно.Для решения этой проблемы Саттерсвейт (Satterthwaite) предложил t -критерий, использующий раздельную (различную) дисперсию[9].

Продемонстрируем различные варианты решения задач применения t -критерия для оценки разности между двумя математическими ожиданиями с использованием программы Microsoft Excel.

Дата добавления: 2015-07-15