Односторонние критерии

Когда нулевая гипотеза предполагает равенство исследуемого параметра генеральной совокупности заданному значению, то область отклонения гипотезы разделяется на две части, равные величине α /2.

Иногда при проверке гипотез бывает необходимо установить, что параметр генеральной совокупности строго больше или меньше заданного значения. Рассмотрим один из таких примеров. Допустим, что отдел социальной защиты населения должен принимать не менее 12 посетителей в день (μ = 12). Установлено стандартное отклонение для этого значения на уровне σ = 4. С целью проверки выполнения требований было подсчитано число принятых посетителей за 15 случайно выбранных дней и вычислено среднее количество посетителей, обслуживаемых отделом социальной защиты населения ежедневно. В результате обработки статистических данных было получено:

=160:15 = 10,667 посетителей.

В данном примере нулевая и альтернативная гипотезы формулируются так:

H ₀: μ ≥ 12;

H ₁: μ < 12.

Здесь нас интересует одно пороговое значение: «Не стало ли количество обслуживаемых посетителей за день меньше номинального»? Поэтому область отклонения гипотезы теперь ограничена лишь левым хвостом нормального распределения. Когда область отклонения гипотезы ограничена только одним хвостом распределения, критерий называется односторонним. Если альтернативная гипотеза содержит знак «меньше», критическое значение тестовой статистики Z должно быть отрицательным. Поскольку вся область отклонения гипотезы ограничена левым хвостом стандартизованного нормального распределения и его площадь должна быть равной 0,05, то, как показано в таблицах нормального распределения и на рис. 3, критическое значение тестовой статистики Z равно -1,645.

Таким образом, решающее правило выглядит следующим образом:

если Z < - 1,645, гипотеза отклоняется;

в противном случае она не отклоняется.

Для проверки гипотезы H ₀ применяется Z -критерий, и с этой целью по формуле (1) вычисляется статистика:

Рис. 3. Односторонний критерий для проверки гипотезы о математическом ожидании генеральной совокупности при известном стандартном отклонении и уровне значимости, равном 0,05

Поскольку расчетное значение Z = -1,291 > Z _кр = -1,645, гипотеза H ₀ не имеет оснований для ее отклонения.

Для вычисления р - значения необходимо определить вероятность того, что Z < -1,291. Вероятность этого события равна 0,0985. Эта величина больше уровня значимости α = 0,05. Нулевая гипотеза H ₀ не отклоняется.

Алгоритм оценки нулевой и альтернативной гипотезы для одностороннего критерия

• Нулевая гипотеза H ₀ всегда формулируется относительно конкретного значения параметра генеральной совокупности (например, математического ожидания μ, а не выборочной статистики, например, выборочного среднего ).

• Альтернативная гипотеза H ₁ является отрицанием нулевой гипотезы и представляет собой исследовательское предположение или особое умозаключение, которое требуется доказать.

• Если нулевая гипотеза отвергается, альтернативная гипотеза считается истинной.

• Если нулевая гипотеза не отвергается, альтернативная гипотеза считается не доказанной. Однако недоказанность альтернативной гипотезы не означает, что нулевая гипотеза является истинной.

• Нулевая гипотеза всегда содержит утверждение о равенстве параметра генеральной совокупности заранее заданному значению.

• Альтернативная гипотеза никогда не содержит утверждения о равенстве параметра генеральной совокупности заранее заданному значению.

1.7. Использование t -критерия для проверки гипотезы о математическом ожидании при неизвестном стандартном отклонении

В большинстве ситуаций, касающихся числовых данных, стандартное отклонение σ неизвестно. Однако эту величину можно оценить, вычислив выборочное стандартное отклонение S. Если генеральная совокупность является нормально распределенной, выборочное среднее обладает t - распределением Стьюдента с n -1 степенями свободы. Это дает возможность сформулировать t - критерий для оценки разности между выборочным средним и математическим ожиданием генеральной совокупности μ:

, (2)

где тестовая статистика t имеет t -распределение с n -1 степенями свободы.

Дата добавления: 2015-07-15