Упражнение 5.

Предположим, для оценки качества усвоения материала по Закону о техническом регулировании разработан тест. В соответствии с условиями этого теста студенту предлагается ответить на 10 вопросов. За каждый правильный ответ студент получает один балл, а за неправильный ответ – ноль баллов. Для оценки качества усвоения положений Закона о техническом регулировании, из группы случайным образом выбраны 10 студентов и с ними проведено три этапа тестирования:

* 1-й или начальный этап проводится после самостоятельного изучения студентами положений Закона;

* 2-й этап проводится после групповой консультации, на которой разбираются общие для всей группы недостатки 1-го этапа тестирования;

* 3-й этап проводится после индивидуальной консультации, на которой разбираются конкретные ошибки, допущенные каждым студентом.

Результаты 3-х этапов тестирования одной и той же группы студентов приведены в табл. 8.

Данные табл. 8 свидетельствуют о том, что количество баллов, набираемых одной и той же группой студентов, возрастает с увеличением номера тестирования. Однако возникает вопрос: существенен ли достигаемый успех в уровне подготовки студентов?

Таблица 8

Измерения результатов тестирования

Сумма баллов
Порядковый номер студента	Начальные результаты тестирования	Результаты тестирования после групповой консультации	Результаты тестирования после индивидуальной консультации
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
Итого

Воспользовавшись формулой (9), можно провести парные сравнения различных этапов тестирования, сравнив получаемые значения t -статистики с критическим значением t _{n - 1} распределения Стьюдента.

Значительно быстрее и проще эти вычисления выполнить с помощью программы Microsoft Excel. При выполнении расчетов примем уровень значимости α равным 0,05. В табл.9 приведены, выполненные в Excel, результаты сравнения между 1-м и 2-м этапами тестирования, а в табл. 10 - результаты сравнения между 2-м и 3-м этапами тестирования.

Поскольку полученное значение t = - 2,538461538 ( см.табл. 9) лежит вне критической области (t критическое двухстороннее = ± 2,262157158), нулевая гипотеза Н ₀ отклоняется. Таким образом, в среднем 2-й этап тестирования дает более высокие результаты.

Различия между результатами, полученными на 2-м и 3-м этапе тестирования, на уровне значимости α равным 0,05 статистически не различимы, т.к. в этом случае t - статистика равна величине -1,30931 илежит внутри критической области, ограниченной диапазоном ± 2,262157158 (см. табл. 10).

Таблица 9

Парный двухвыборочный t -тест для средних
	Начальные результаты тестирования	Результаты тестирования после групповой консультации
Среднее	4,3	5,4
Дисперсия	2,233333333	0,711111
Наблюдения
Корреляция Пирсона	0,42320737
Гипотетическая разность средних
df
t -статистика	-2,538461538
P(T<=t) одностороннее	0,015895464
t критическое одностороннее	1,833112923
P(T<=t) двухстороннее	0,031790928
t критическое двухстороннее	2,262157158

Таблица 10

Парный двухвыборочный t -тест для средних
	Результаты тестирования после групповой консультации	Результаты тестирования после индивидуальной консультации
Среднее	5,4	5,8
Дисперсия	0,711111	1,733333
Наблюдения
Корреляция Пирсона	0,680545
Гипотетическая разность средних
df
t -статистика	-1,30931
P(T<=t) одностороннее	0,111434
t критическое одностороннее	1,833113
P(T<=t) двухстороннее	0,222868
t критическое двухстороннее	2,262157

3.2. Использование Z -критерия для оценки разности между двумя долями признака

Иногда необходимо выполнить анализ различий между двумя генеральными совокупностями, используя категорийные данные. В данном разделе мы рассмотрим процедуру, в которой на основе Измеренная разность между двумя выборочными долями признака может служить оценкой разности двумя долями признака в генеральных совокупностях . Если объем выборок достаточно велик, то в качестве критерия оценки выступает Z -статистика, которая имеет стандартизованное нормальное распределение:

(10)

где

- доля успехов в первой выборке;

m ₁ — количество успехов в первой выборке;

n ₁ — объем выборки из первой генеральной совокупности;

p ₁ — доля успехов в первой генеральной совокупности;

— доля успехов во второй выборке;

m ₂ — количество успехов во второй выборке;

n ₂ - объем выборки из второй генеральной совокупности;

р ₂ —— доля успехов во второй генеральной совокупности;

оценка доли успехов в объединенной генеральной совокупности.

Нулевая гипотеза заключается в том, что доли признака в двух генеральных совокупностях одинаковы. Следовательно, проверку равенства долей признака в двух генеральных совокупностях можно свести к оценке доли признака в объединенной генеральной совокупности. Оценка объединенной доли равна результату деления количества успехов в обеих выборках m ₁+ m ₂ на сумму объемов выборок n ₁+ n ₂.

Z -критерий позволяет определить, существуют ли различия между долями успеха в двух группах (двусторонний тест). Можно также установить, превышает ли доля успехов в одной группе долю успехов в другой (односторонний критерий).

Поэтому нулевая и альтернативная гипотезы могут быть сформулированы следующим образом.

Двусторонний критерий	Односторонний критерий	Односторонний критерий

При заданном уровне значимости a нулевая гипотеза отклоняется, если вычисленная Z -статистика (10) больше верхнего или меньше нижнего критического значения стандартизованного нормального распределения.

Дата добавления: 2015-07-15