Упражнение 6.

Проиллюстрируем применение Z -критерия для оценки разности между двумя долями признака на следующем примере.

Предположим, вы — менеджер туристической компании, которой принадлежат два отеля: Восток и Запад. На вопрос «Планируете ли вы вернуться в наш отель снова?» 163 из 227 постояльцев отеля Восток ответили: «Да», в то же время на этот вопрос ответили «Да» 154 из 262 постояльцев отеля Запад. Можно ли утверждать, что при уровне значимости, равном 0,05, между степенью удовлетворенности постояльцев обоих отелей (вероятностью, что в следующем сезоне они вернутся в отель) значимой разницы нет?

Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом:

Поскольку уровень значимости равен 0,05, критические значения равны -1,96 и +1,96, а решающее правило имеет следующий вид:

нулевая гипотеза Н ₀ отклоняется, если Z < -1,96 или Z > +1,96, в противном случае нулевая гипотеза Н ₀ не отклоняется.

Вычислим Z -статистику:

где

Таким образом,

При уровне значимости, равном 0,05, нулевая гипотеза Н ₀ отклоняется, поскольку Z = +3,01 > + 1,96. Если нулевая гипотеза является истинной, вероятность того, что Z -статистика будет больше +1,96 и меньше -1,96 равна 0,05. При полученном значении Z = +3,01 наблюдаемый уровень значимости представляет собой вероятность равную величине 1- 0,99738 = 0,00262. Следовательно, если нулевая гипотеза истинна, вероятность того, что Z- статистика меньше -3,01 равна 0,00131. Вероятность того, что Z -статистика больше +3,01, также равна 0,00131, если нулевая гипотеза верна. Таким образом, в двухстороннем критерии p -значение равно 0,00131 + 0,00131 = 0,00262. Поскольку 0,00262 < = 0,05, нулевая гипотеза отклоняется. Таким образом, можно утверждать, что два отеля значительно различаются по качеству обслуживания. Иначе говоря, доля гостей, планирующих вернуться, в отель Восток статистически больше аналогичной доли для отеля Запад.

IV. Вопросы и задачи проверки знаний

Общие вопросы проверки знаний

1. Чем нулевая гипотеза отличается от альтернативной гипотезы?

2. Чем ошибка 1-го рода отличается от ошибки 2-го рода?

3. Что называется мощностью критерия?

4. Чем односторонний критерий отличается от двустороннего?

5. Что называется p -значением?

6. Как проверить гипотезу о математическом ожидании генеральной совокупности с помощью доверительного интервала?

7. Перечислите этапы проверки гипотез.

8. Какие этические проблемы связаны с проверкой гипотез?

9. На какие вопросы необходимо ответить, планируя эксперимент или опрос для проверки гипотезы?

4.2. Задачи проверки знаний по материалу учебного модуля «Основы проверки гипотез»

Задача 4.2.1. Многие потребители лекарственных препаратов считают, что на рынке появляется много некачественных лекарств. Наряду с этим, многие лоббисты, для повышения прибыли фармацевтических компаний, стремятся упростить процесс контроля качества продаваемых лекарств. Нулевая гипотеза заключается в том, что новое лекарство признается опасным, а альтернативная гипотеза состоит в том, что оно совершенно безопасно.

1. Объясните, в чем заключается риск, возникающий при ошибках 1- и 2-го рода.

2. Какого типа ошибки стремятся избежать потребители? Обоснуйте свой ответ.

3. Какого типа ошибки стремятся избежать промышленные лоббисты? Обоснуйте свой ответ.

4. Как уменьшить вероятности ошибок 1- и 2-го рода?

Задача 4.2.2. Студенты и преподаватели не довольны расписанием занятий, поэтому Учебный отдел (УО) вуза решил учесть время, необходимое для перехода из одной аудитории в другую. Методист УО полагает, что 20 мин. перерыва между занятиями вполне достаточно. Сформулируйте нулевую и альтернативную гипотезы.

(H ₀: μ = 20 H ₁: μ ≠ 20)

Задача 4.2.3. Менеджер местного отделения крупного банка полагает, что за последние годы средняя сумма, которую вкладчики ежедневно извлекают из банкомата, не превышает 600000 руб. Сформулируйте нулевую и альтернативную гипотезы.

Задача 4.2.4. Предположим, что уровень значимости двустороннего критерия равен 0,05. Какой вывод можно сделать, если Z = +2,21?

Задача 4.2.5. Предположим, что уровень значимости двустороннего критерия равен 0,10. Какое решающее правило следует сформулировать для отклонения гипотезы о том, что математическое ожидание генеральной совокупности равно 500?

Задача 4.2.6. Предположим, что уровень значимости двустороннего критерия равен 0,01. Какое решающее правило следует сформулировать для отклонения гипотезы о том, что математическое ожидание генеральной совокупности равно 125? (Z = ± 2,58)

Задача 4.2.7. Чему равно значение р в двустороннем критерии, если Z = + 2,00? (0,0455 = 1- 0,9545)

Задача 4.2.8. Чему равно значение р в двустороннем критерии, если Z = - 1,38? (0,1676 =1 – 0,8324)

Задача 4.2.9. Чему равно верхнее критическое значение Z -статистики, положенной в основу одностороннего критерия с уровнем значимости, равным 0,01? (2,33)

Задача 4.2.10. Какое статистическое решение следует принять, если в предыдущей задаче вычисленное значение Z -статистики равно 2,39?

Задача 4.2.11. Чему равно нижнее критическое значение Z -статистики, положенной в основу одностороннего критерия с уровнем значимости, равным 0,01? (- 2,33)

Задача 4.2.12. Какое статистическое решение следует принять, если в предыдущей задаче вычисленное значение Z -статистики равно - 1,15?

Задача 4.2.13. Предположим, что односторонний критерий отклоняет гипотезу, только если вычисленное значение статистики попадает в область, ограниченную правым хвостом. Вычисленное значение Z -статистики равно +2,00. Чему равно р - значение. (0,0227)

Задача 4.2.14. Какое статистическое решение следует принять, если в предыдущей задаче уровень значимости равен 0,05?

Задача 4.2.15. Предположим, что односторонний критерий отклоняет гипотезу, только если вычисленное значение статистики попадает в область, ограниченную правым хвостом. Вычисленное значение Z-статистики равно - 1,38. Чему равно р - значение? (0,0838)

Задача 4.2.16. Какое статистическое решение следует принять, если в предыдущей задаче уровень значимости равен 0,01?

Задача 4.2.17. Предположим, что односторонний критерий отклоняет гипотезу, только если вычисленное значение статистики попадает в область, ограниченную левым хвостом. Вычисленное значение Z -статистики равно +1,38. Чему равно р - значение? (0,9162)

Задача 4.2.18. Предположим, что из нормально распределенной генеральной совокупности извлечена выборка, объем которой п = 16, выборочное среднее равно 56, а выборочное стандартное отклонение S = 12.

Чему равно значение t -статистики при проверке нулевой гипотезы, заключающейся в том, что μ = 50? (2)

Задача 4.2.19. Предположим, что в выборке, состоящей из 400 элементов, 88 оказались бракованными.

1. Какова доля бракованных элементов в выборке?

2. Если нулевая гипотеза в этой задаче заключается в том, что генеральная совокупность должна содержать 20% бракованных элементов, чему равна Z -статистика, положенная в основу критерия?

Задача 4.2.20. Компания, торгующая кондиционерами, поместила рекламу о новом виде продукции, поступившей в продажу, в периодической печати и на телевизионном рекламном ролике. Ранее было установлено, что эффективность данных видов рекламы характеризуется процентом покупателей, делающих покупки по рекламе, соответственно равным 5% и 9% для каждого вида рекламы. Для оценки справедливости ранее установленных результатов было опрошено 124 покупателя по первому виду рекламы и 197 - по второму виду. В результате опроса установлено, что из 124 потенциальных покупателей кондиционеров по рекламе периодической печати, покупку сделали только 7 человек. Эффективность телевизионной рекламы кондиционеров составила - из 197 покупателей покупку сделали 9 человек.

1. Можно ли утверждать, что процент покупателей кондиционеров по рекламе периодической печатистал более 5%,если уровень значимости равен 0,05? (Z = 0,307; Не отклоняется)

2. Можно ли утверждать, что процент покупателей кондиционеров по телевизионной рекламе стал более 9%, если уровень значимости равен 0,05?

(Отклоняется, т.к. Z = - 2,158)

Задача 4.2.21. Из первой генеральной совокупности, стандартное отклонение которой равно s₁ = 20, извлечена выборка, имеющая объем n ₁ = 40, а из второй генеральной совокупности, стандартное отклонение которой равно s₂ = 10, извлечена, независимая от первой, выборка, имеющая объем п ₂ = 50.

1.Чему равна Z -статистика, используемая в критерии для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей, если = 72, а = 66? (Z=1,73)

2.Выполняются ли условия для принятия нулевой гипотезы , если для ее проверки применяется двусторонний критерий с уровнем значимости α = 0,05?

3. Определите р -значение при проверке гипотезе . (0,084)

Задача 4.2.22. Предположим, имеются две независимые выборки. Объем первой выборки равен n ₁ = 8, выборочное среднее равно = 42, а выборочное стандартное отклонение — S ₁ = 4. Объем второй выборки равен п ₂ = 15, выборочное среднее равно = 34,а выборочное стандартное отклонение — S ₂ = 5.

1.Чему равно значение t -статистики, зависящей от суммарной дисперсии, при проверке гипотезы о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей, из которых извлечены эти выборки? (3,8959)

2. Сколько степеней свободы имеет эта статистика? (21)

3. Чему равно критическое значение одностороннего критерия с уровнем значимости = 0,01 при проверке гипотез и ?

(2,51)

* Какой статистический вывод следует сделать?

* Какие предположения о свойствах двух генеральных совокупностей должны выполняться?

Задача 4.2.23. Как правило, стоимость одноразовой покупки продовольственных товаров перед Новым годом существенно возрастает. Аналитической службой гипермаркетов «Перекресток» был проведен анализ стоимости одной покупки продовольственных товаров, произведенных 27 декабря 2009 года в магазинах «Перекресток», расположенных в городах Москве и в Королеве. Для этого была произведена случайная выборка по 100 покупок в каждом из городов. В результате были получены следующие данные:

- средняя стоимость одной покупки в Москве составляет 1440 руб., а выборочное стандартное отклонение равно 290 руб.;

- средняя стоимость одной покупки в Королеве составляет 1120 руб., а выборочное стандартное отклонение равно 310 руб.

1. Предположив, что уровень значимости равен 0,05, а дисперсии генеральных совокупностей одинаковы, можно ли утверждать, что средняя стоимость одной покупки продовольственных товаров, произведенных 27 декабря 2009 года в магазинах «Перекресток», расположенных в Москве выше, чем в аналогичных магазинах, расположенных в Королеве?

(t = 7,54; Нулевая гипотеза отклоняется)

2. Вычислите р -значение и объясните его смысл.

Задача 4.2.24. Агентство недвижимости желает сравнить оцененную стоимость одноквартирных домов в двух поселках Московской области. Статистические данные, вычисленные по выборкам 60 домов в поселке Ясное и 99 домов в поселке Лесное (в тыс. руб.) приведены в таблице.

	Ясное	Лесное
	191,33	172,34
S	32,60	16,92
n

1. Существуют ли основания утверждать, что средняя оцененная стоимость до­мов в поселках одинакова, если уровень значимости равен 0,05?

(t = 4,8275; t _кр = 1,9752; Отклоняется)

Задача 4.2.25. Преподаватель математики решил оценить эффективность усвоения студентами темы «Нормальный закон распределения вероятностей» в зависимости от формы проведения практических занятий. С этой целью он осуществил следующий эксперимент. Практические занятия по теме со студентами 1-й группы курса, состоящей из 22 человек, проводились в виде семинарских занятий, а в часы практических занятий со студентами 2-й группы, состоящей из 18 человек, проводились лабораторные работы. По завершению изучения темы всем студентам (каждому индивидуально) были предложены для решения три варианта задач на указанную тему. Эффективность усвоения материала измерялась количеством времени, затраченного каждым студентом на решение предложенных задач.

Время решения задач студентами 1-й группы	Время решения задач студентами 2-й группы
	60^*
60^*
60^*
	60^*
60^*

60^* - означает время, затраченное студентом на решение задач с участием преподавателя

1. Можно ли утверждать, что качество усвоения темы студентами 1-й и 2-й группами одинаково, если уровень значимости равен 0,05? (Да)

Решите задачу, предполагая, что 1) дисперсии двух групп равны между собой; 2) дисперсии двух групп не равны между собой. Сравните полученные решения.

2. Какие предположения должны выполняться при решении задачи? Обоссвой ответ.

Двухвыборочный t -тест с одинаковыми дисперсиями
	Студенты 1-й группы	Студенты 2-й группы
Среднее	28,59091	31,16667
Дисперсия	219,9675	169,6765
Наблюдения
Объединенная дисперсия	197,4689
Гипотетическая разность средних
df
t-статистика	-0,57673
P(T<=t) одностороннее	0,283761
t критическое одностороннее	1,685954
P(T<=t) двухстороннее	0,567522
t критическое двухстороннее	2,024394

Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями
	Студенты 1-й группы	Студенты 2-й группы
Среднее	28,59091	31,16667
Дисперсия	219,9675	169,6765
Наблюдения
Гипотетическая разность средних
df
t-статистика	-0,58442
P(T<=t) одностороннее	0,281196
t критическое одностороннее	1,685954
P(T<=t) двухстороннее	0,562392
t критическое двухстороннее	2,024394

3.Постройте 95%-й доверительный интервал, содержащий разность между средней продолжительностью решения задач студентами 1-й и 2-й группами.

(-11,56 < - ₂ < 6,7)

Задача 4.2.26. Как правило, количество и время опозданий зрителей к началу спектаклей в театры Москвы зависит от многих факторов, в том числе, и от времени начала спектаклей. Студенты театрального училища провели анализ опозданий зрителей к началу дневных и вечерних спектаклей в Малый театр Москвы. Результаты их наблюдений с точностью до 1 мин. для 24 опоздавших зрителей на дневные и вечерние спектакли приведены в таблице.

Время опозданий на дневные спектакли
Время опозданий на вечерние спектакли

1.Можно ли утверждать, что время опозданий зрителей к началу дневных и вечерних спектаклей одинаково, если уровень значимости равен 0,05?

Решите задачу, предполагая, что 1) дисперсии двух групп равны между собой; 2) дисперсии двух групп не равны между собой. Сравните полученные решения. (Да)

2.Постройте 95%-й доверительный интервал, содержащий разность между средней продолжительностью опозданий зрителей к началу дневных и вечерних спектаклей.

(- 4,56 < - ₂< 1,9)

Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями
	Дневные сеансы	Вечерние сеансы
Среднее	4,583333	5,916667
Дисперсия	23,9058	37,99275
Наблюдения
Объединенная дисперсия	30,94928
Гипотетическая разность средних
df
t-статистика	-0,83024
P(T<=t) одностороннее	0,205345
t критическое одностороннее	1,67866
P(T<=t) двухстороннее	0,410691
t кр.двухстороннее	2,012896

Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями
	Дневные сеансы	Вечерние сеансы
Среднее	4,583333	5,916667
Дисперсия	23,9058	37,99275
Наблюдения
Гипотетическая разность средних
df
t-статистика	-0,83024
P(T<=t) одностороннее	0,205442
t критическое одностороннее	1,68023
P(T<=t) двухстороннее	0,410885
t кр. двухстороннее	2,015368

Задача 4.2.27. По данным работы цеха по производству хрустальных ваз было выяснено, что качество рисунка на вазах и качество самих ваз, в основном, зависит от квалификации и опыта работы работниц конвейера. За один оборот конвейера на заготовку будущей вазы наносится рисунок сложной формы. Анализ мероприятий, проведенных руководством цеха, направленных на повышение квалификации работниц конвейера и приобретении ими навыков работы на конвейере, показал, что с 2009 г. по 2010 г. количество отходов производства из-за некачественно наносимого рисунка на вазы, снизилось. Так, в сентябре 2009 года из 3208 изготовленных ваз на 3149 вазах рисунок был качественный, а в мае 2010 годаэти показатели равнялись: из 3987 ваз качественный рисунок был установлен на 3944 вазах.

1. Можно ли утверждать, что производство хрустальных ваз за рассматриваемый период улучшилось, ес­ли уровень значимости равен 0,05?

2. Вычислите р -значение и объясните его смысл.

3. Постройте 95%-ный доверительный интервал, содержащий разность между математическими ожиданиями 2-х генеральных совокупностей.

( - 0,0003 < р₁ - р₂ < - 0,0137 )

Задача 4.2.28. Начальник отдела снабжения крупной сети продовольственных магазинов решает вопрос о выборе одного из двух складов для длительного хранения овощной продукции. В наибольшей степени его волнует степень сохранности картофеля, который по установившейся традиции он ежегодно получает от одного поставщика. В связи с кризисными явлениями (может быть, и по другой причине) планируемое потребление овощной продукции на предстоящий период снизится, и для ее годового хранения достаточно будет одного овощехранилища. Поэтому начальник отдела снабжения обратился в службу по качеству с предложением разработки обоснований по рациональному размещению овощной продукции на предстоящий год.

Менеджер службы качества проверил степень сохранности продукции, оставшейся на сладах хранения. Так, из 750 кг картофеля, оставшегося на хранении в 1-м овощехранилище, 12 кг оказалось испорченным, из 942 кг картофеля 1-го овощехранилища испорченным оказалось 17 кг.

1. В каком овощехранилище целесообразно разместить картофель на предстоящий период, если стоимость хранения 1 кг картофеля на складах одинакова, а уровень значимости равен 0,05?

(В 1-м овощехранилище)

2. Вычислите р -значение и объясните его смысл.

[1] Следует иметь в виду, что объектом статистических гипотез являются выборки, извлекаемых из анализируемых и изучаемых генеральных совокупностей.

[2] В дальнейшем эту вероятность будем еще именовать и как вероятность ошибки первого рода.

[3]Запомнить соответствие между вероятностями и типами ошибок легко, если учесть, что α — первая буква греческого алфавита и обозначает вероятность ошибки 1-го рода, а β — вторая буква греческого алфавита и обозначает вероятность ошибки 2-го рода.

[4] Понятие «продукция» будем понимать в широком смысле, в сооиветствии со стандартом ИСО 9000-2000

[5] Здесь сохранены обозначения, принятые во втором разделе для генеральных совокупностей и выборок, но признаки этих множеств могут иметь различную природу.

[6] Статистика Z имеет стандартизованное нормальное распределение

[7] Статистика t, зависящая от суммарной дисперсии, имеет t -распределение Стьюдента

[8] В дальнейшем будет рассмотрен метод оценки равенства дисперсий, опирающейся на F распределение.

[9] Эта процедура довольно громоздка и зачастую проводимые расчеты не дают дополнительной полезной информации, поэтому здесь приводятся только результаты вычислений, реализуемых программой Microsoft Excel.

[10] Z - статистика имеет стандартизованное нормальное распределение.

---

Дата добавления: 2015-07-15