Упражнение 4. Предположим, что с целью оценки качества усвоения материала по дисциплине

Предположим, что с целью оценки качества усвоения материала по дисциплине «Информатика» студентами различных специальностей, было проведено выборочное тестирование студентов специальностей Управление качеством (УК) и Инноватика (И). Результаты выборочного тестирования приведены в табл. 4. Требуется определить - совпадают ли средние значения оценок результатов тестирования по дисциплине «Информатика», полученных всеми студентами групп УК и И. Иными словами, необходимо выяснить - качество усвоения дисциплины «Информатика» студентами различных специальностей вуза находится па одном уровне или эти уровни статистически различаются?

В этой задаче рассматриваются две генеральные совокупности. Первую генеральную совокупность составляют студенты специальности УК, а во вторую генеральную совокупность входят студенты вуза специальности И.

Сформулируем статистические гипотезы следующим образом.

Нулевая гипотеза состоит в том, что математические ожидания двух независимых генеральных совокупностей не отличаются друг от друга:

H ₀: µ₁ = µ₂ или µ₁ - µ₂ = 0.

Альтернативная гипотеза заключается в том, что математические ожидания не совпадают:

H ₁: µ₁ ≠ µ₂ или µ₁ - µ₂ ≠ 0.

Таблица 4

Оценки, выставленные студентам по результатам тестирования
Студенты специальности УК	Студенты специальности И

Предполагая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей, имеющих одинаковую дисперсию (т.е. ), применим t -критерий, использующий суммарную дисперсию. Эта статистика имеет t -распределение с 10 + 11 - 2 = 19 степенями свободы, т.к. n ₁ =10, а n ₂ = 11. Если уровень значимости двустороннего крите­рия равен 0,05, то из таблицы для распределения Стьюдента следует, что критические значения t -статистики с 19 степенями свободы равны +2,09 и -2,09.

Решающее правило имеет следующий вид:

если t > t₁₉ =+2,09 или t < - t ₁₉ = - 2,09, то нулевая гипотеза Н ₀ отклоняется, в противном случае она не отклоняется.

Расчеты, выполненные по формуле (7), приводят к следующим результатам:

= - 0,131,

где

При уровне значимости равном 0,05 нулевая гипотеза не может быть отклонена, так как t = - 0,13 > t ₁₉ = - 2,09.

Воспользовавшись программой Microsoft Excel, получаем аналогичные результаты, представленные в табл. 3.7.

Наблюдаемый уровень значимости (p -значение), вычисленный с помощью программы Microsoft Excel, равен 0,896774. Это означает, что по имеющимся статистическим данным, если мы отклоним гипотезу Н ₀, то с вероятностью 0,896774 совершим ошибку (ошибку первого рода α). Поскольку p -значение больше 0,05, у нас нет оснований отклонить нулевую гипотезу. Таким образом, можно утверждать, что степень усвоения дисциплины «Информатика» студентами специальностей УК и И находится на одном статистическом уровне.

Из табл. 5 видно, что дисперсии выборок не равны между собой, что, однако, еще не означает различия дисперсий их генеральных совокупностей. Однако, в общем случае объединение выборочных данных в одну суммарную дисперсию некорректно.

Результаты применения t -критерия, использующего раздельную дисперсию, полученный с помощью программы Microsoft Excel, для рассматриваемого примера, приведены в табл. 6.

Обратите внимание на то, что результаты применения t -критерия, использующего раздельную дисперсию, практически не отличаются от результатов, полученных с помощью t -критерия, использующего суммарную дисперсию. Предположение о равенстве дисперсий в этой задаче практически не влияет на результат. Однако в других ситуациях эти критерии могут привести к противоположным выводам. Проблема проверки равенства дисперсий является весьма важной частью анализа данных. Для ее решения можно применять F -критерий. Проверка разности между дисперсиями двух генеральных совокупностей основана на исследовании их отношения. Если каждая генеральная совокупность является нормально распределенной, отношение S / S подчиняется F -распределению. Критическое значение F- распределения зависит от степеней свободы двух множеств. Степени свободы числителя относятся к выборке, у которой дисперсия больше, а степени свободы знаменателя — к выборке, у которой дисперсия меньше. Для проверки равенства двух дисперсий в критерии используется F -статистика:

.

Если F -статистика больше критического значения F _кр, то нулевая гипотеза отклоняется. В противном случае нулевая гипотеза не отклоняется. Расчетыпо вычислению F -статистики и установлению критического значения F _кр легко и просто выполнить с помощью программы Microsoft Excel. Для рассматриваемого примера (см. табл. 4)лнить соьше,, вариант использования программы Microsoft Excel для проверки разности между дисперсиями двух генеральных совокупностей, приведен в табл. 7.

Таблица 5

Двухвыборочный t -тест с одинаковыми дисперсиями
Студенты специальностей	УК	И
Среднее	3,4	3,454545
Дисперсия	0,933333	0,872727
Наблюдения
Объединенная дисперсия	0,901435
Гипотетическая разность средних
df
t-статистика	-0,13149
P(T<=t) одностороннее	0,448387
t критическое одностороннее	1,729133
P(T<=t) двухстороннее	0,896774	Это показатель α
t критическое двухстороннее	2,093024

Таблица 6

Двухвыборочный t -тест с различными дисперсиями
Студенты специальностей	УК	И
Среднее	3,4	3,454545455
Дисперсия	0,933333	0,872727273
Наблюдения
Гипотетическая разность средних
df
t-статистика	-0,13126
P(T<=t) одностороннее	0,448473
t критическое одностороннее	1,729133
P(T<=t) двухстороннее	0,896946
t критическое двухстороннее	2,093024

Таблица 7

Двухвыборочный F -тест для дисперсии
	УК	И
Среднее	3,4	3,45454545
Дисперсия	0,93333333	0,87272727
Наблюдения
df
F	1,06944444
P(F<=f) одностороннее	0,45531337
F критическое одностороннее	3,02038295

Обратите внимание на то, что два разных t -критерия привели к одинаковым результатам. Предположение о равенстве дисперсий в этой задаче практически не влияет на результат. Однако в других ситуациях эти критерии могут привести к противоположным выводам.

Дата добавления: 2015-07-15