Билет 24. Вопрос 1. Электрическое аналоговое моделирование. Исследование моделей из сплошных проводящих сред и сетки сопротивлений для моделирования стационарных полей.

3.2.3. Модели стационарных полей

Существуют два способа построения электрических полей физических полей в элементах технических устройств. Модели могут быть построены из сплошных проводящих сред. В этом случае модельное поле характеризуется непрерывна распределением параметров, в частности, электрического потенциала. Можно построить также сеточные электрические модели, основанные на конечно-разностной аппроксимации непрерывного поля. В этом случае модельное поле задается дискретно в узлах сетки.

При использовании сплошных проводящих сред модель исследуемого объекта выполняется из сплошного проводящего материала. В качестве такого материала могут быть использова­ны любые среды, слабо проводящие электрический ток.

Для исследования полей в элементах конструкций машин могут быть созданы полноразмерные модели. Например, для изучения температурного поля в лопатке газовой турбины мож­но изготовить полноразмерную модель лопатки, задать на гра­ницах этой модели необходимые граничные условия, а затем измерить распределение потенциала в модели. Однако такие модели очень сложны и, главное, сугубо индивидуальны.

К счастью, большинство реальных полей обладает плоско­стной или осевой симметрией, позволяющей ограничиться изу­чением поля в одной характерной плоскости. Так, если пренеб­речь концевыми эффектами, можно считать, что распределение температур идентично в ряде последовательных сечений лопатки турбины. Точно так же идентичны в этих сечениях и поля скоростей обтекающего лопатку газа.

В подобных случаях достаточно изучить рассматриваемое поле или в тонком плоском (рис. 3.3, а), или в некотором клиновом слое (рис. 3.3, б), вырезанном плоскостями симметрии / и П. Возможность использования свойств симметрии и тонких слоев упрощает построение моделей, делает их универсальными. В электрическом поле плоскости симметрии могут быть выпол­нены из изолирующих материалов, на границе которых выпол­няется условие дφ/дп = 0.

При этом имитация клинового слоя требует увеличения проводимости проводящего слоя пропорционально радиусу мо­дели. Такой эффект можно получить или в плоском слое за счет соответствующего увеличения концентрации проводящего на­полнителя, или за счет изменения толщины проводящего слоя из однородного материала.

Для задания граничных условий при моделировании в сплошных проводящих средах используются электроды и изо­ляторы. Так, для задания на некотором участке границы модели

постоянного потенциала (ф|_г = const) необходимо установить, этом участке металлический электрод и подать на него соответствующее напряжение. В моделях из электропроводной бумаги такой электрод выполняется в виде металлической шины (рис. 3.4, а). В электролитической ванне металлический электрод устанавливается непосредственно на дно ванны (рис. 3.4, б)

Для задания некоторого распределения потенциала может быть использована ступенчатая аппроксимация этого распределения с помощью цепочки электродов (рис. 3.4, в) или установленая на границе специальная шина с заданным изменением потен­циала (рис. 3.4, г). Точно так же можно задать граничные усло­вия 2-го рода, только вместо потенциалов к границе должны быть подведены токи. Граничные условия 3-го рода могут быть заданы с помощью потенциалов, поданных к границам через заданные сопротивления (рис. 3.4, д).

Результаты моделирования представляются сеткой экви­потенциальных линий (ф = const), соответствующих изолиниям изучаемой функции. Получение такой сетки связано с решением двух задач: определением потенциала ф в заданных точках об­ласти и фиксацией найденных точек.

Использование сеточных моделей основано на конечно-разностной аппроксимации уравнений в частных производных.

Для электрического моделирования поля, описываемого уравнением Лапласа, может быть использована сетка рези­сторов R (R-сетка). Общий вид одного слоя сетки показан на рис. 3.5, а, схема узловой точки - на рис. 3.7, а. Согласно пер­вому закону Кирхгофа для каждой узловой точки сетки имеем:

При создании конкретных моделей на основе сеток сопро­тивлений используются те же принципы, что и при использова­нии сплошных проводящих сред. Так, в силу симметрии моде­лирование плоскопараллельных и осесимметричных полей осу­ществляется на двумерной сетке сопротивлений, причем в по­следнем случае имитация клинового слоя достигается соответ­ствующим выбором сопротивлений (рис. 3.8).

Для изучения трехмерных полей могут быть использова­ны объемные сетки сопротивлений. Граничные условия задают­ся с помощью потенциалов, токов или потенциалов, подклю­ченных к конкретным граничным узлам сетки через заданные сопротивления. Задание постоянного потенциала осуществляет­ся закорачиванием граничных узлов. Разрыв цепей на границах

dφ = 0, и т.д.

дп

При использовании сеточных моделей реальные криволи­нейные границы области исследования заменяют их конечно-разностной аппроксимацией.

Сравнивая сеточные модели с моделями со сплошной проводящей средой, нужно учитывать следующие факторы. С одной стороны, использование конечно-разностной аппрок­симации всегда связано с внесением погрешности за счет пере­хода от производных к их конечно-разностным выражениям. Поэтому сеточные модели в принципе менее точны, чем модели из сплошной проводящей среды. С другой стороны, сеточные

модели существенно более удобны и универсальны. Они позво­ляют легко моделировать поля в неоднородных и анизотропных средах. Так, при моделировании поля температур в конструкци­ях, состоящих из материалов с различными теплопроводностями λ, достаточно просто изменить сопротивления между соот­ветствующими узловыми точками сетки.

Вопрос 2. Методы оптимального проектирования. Минимаксные стратегии поиска экстремума: методы Кифера и “золотого сечения”, их сравнительная характеристика с методом дихотомии и аналогия с динамическим программированием.

Дата добавления: 2015-07-15