Первого по­рядка

Уравнение

.

(6.32)

где и –заданные функции, называется линейным дифференциальным уравнением пер­вого порядка.

Решение уравнения (6.32) будем искать в виде произведения

(6.33)

двух неизвестных функций и . Подстановка (6.33) в (6.32) дает . После преобразований получаем

.

(6.34)

Выражение в круглых скобках в уравнении (6.34) приравняем

нулю:

,

(6.35)

тогда из уравнения (6.34) и условия (6.35) следует равенство

.

(6.36)

Из уравнения (6.35), которое представляет собой уравнение с разделяющимися переменными, можно найти функцию . Далее найденную функцию подставим в уравнение (6.36) и будем решать его относительно второй неизвестной функции .

Разделяя переменные в уравнении (6.35) и интегрируя, последовательно получаем: , , откуда

.

(6.37)

Подстановка функции из (6.37) в уравнение (6.36) дает

, откуда . Интегрируя последнее равенство, находим вторую неизвестную функцию

.

(6.38)

Возвращаясь к подстановке (6.33), находим общее решение уравнения (6.32) в виде

.

(6.39)

Полученное соотношение (6.39) можно рассматривать как формулу, дающую общее решение уравнения (6.32) при заданных функциях и .

Дата добавления: 2015-07-14