Дифференциальные уравнения второго порядка

1. Дифференциальное уравнение второго порядка, его об­щее решение и начальные условия.

Дифференциальное уравне­ние второго порядка,разрешенное относительно у", имеет вид:

.

(6.41)

В общее решение уравнения второго порядка входят две произвольные постоянные и .

Функция , удовлетворяющая уравнению (6.41), на­зывается его общим решением.

Рассмотрим два частных случая, когда уравнение второго порядка (6.41) сводится к дифференциальному уравнению первого порядка.

1) Пусть в правой части уравнения (6.41) отсутствует функция и ее производная , т.е. уравнение имеет вид

.

(6.42)

В результате двукратного последовательного интегрирования получаем общее решение этого уравнения:

.

(6.43)

2) Пусть в правой части уравнения (6.41) отсутствует функция , т.е. уравнение имеет вид

.

(6.44)

В этом случае обозначим , тогда . Подстановка этих выражений в уравнение (6.44) приводит его к уравнению первого порядка вида

.

(6.45)

общим решением этого уравнения будет функция . Отсюда получаем уравнение или .

Интегрируя последнее соотношение, получим общее решение уравнения (6.44): .

6 .7. Линейные однородные дифференциальные уравнения

Дата добавления: 2015-07-14