Пример 7.5

Рассмотрим ряд .

Здесь , . Предел не равен нулю, следовательно, ряд расходится.

.. Таким образом, если выполняется условие (7.7), вопрос о сходимости ряда (7.1) остается открытым. Ряд может расходиться, а может и сходиться. Для решения этого вопроса могут

быть использованы свойства ряда, из которых следует сходимость этого ряда. Такие свойства называются достаточными признаками сходимости рядов.

Ряды с положительными членами. Рассмотри достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Теорема 7.2. (Признак Даламбера).

Пусть дан ряд (7.1), все члены которого положительны:

,

(7.9)

и существует предел

,

(7.10)

(где обозначение найденного предела). Тогда:

1) если , ряд (7.1) сходится;

2) если , ряд (7.1) сходится;

3) если , рассматриваемый признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

Примечание. Ряд (7.1) будет расходиться и в том случае, когда , так как тогда, начиная с некоторого номера N, будет и, значит, не стремится к нулю при .

Доказательство признака можно найти, например, в [ ].

Дата добавления: 2015-07-14