Пример 6.8

Найти общее решение уравнения .

Решение

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка (6.32), в котором , . Подставляя эти выражения для и в формулу (6.39) и вычисляя соответствующие интегралы, получаем

= =

= .

Таким образом, – общее решение исходного уравнения.

Пример 6.9 (Закон перехода вещества в раствор.)

Рассмотрим процесс перехода вещества в раствор. Известно, что при фиксированной температуре количество вещества, содержащееся в определенном объеме растворителя, не может превзойти некоторого, определенного для каждого вещества числа , соответствующего насыщенному раствору. Известно также, что по мере приближения к насыщенному раствору уменьшается количество вещества, перехо­дящего в раствор за единицу времени. Иными словами, чем больше вещества перешло в раствор, тем меньше скорость перехода.

Решение

Пусть — количество вещества, перешедшего в раствор к моменту времени . Тогда — скорость перехода, и в соответствии со сказанным можно написать:

,

где стремится к нулю при , . Эксперименты по­казывают, что для многих веществ функция пропорциональна разности , т.е. , и, следовательно,

, где > 0 – коэффициент пропорциональности.

Далее преобразуем последнее уравнение к виду .

Это – линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Согласно формуле (6.39) имеем:

Пусть - момент времени, с которого начался процесс перехода ве­щества в раствор. Очевидно, . Поэтому , откуда , и, значит,

.

(6.40)

Значения и определяются характером растворенного вещества и растворителя. Из (6.40) видно, что при любых и величина стремится к , если . Вид функции хорошо согла­суется с экспериментальными данными. Поэтому формулу (6.40) можно рассматривать как закон перехода вещества в раствор.

Дата добавления: 2015-07-14