Решение. Перепишем, используя другое обозначение для производной,

Перепишем, используя другое обозначение для производной,

.

Разделение переменных приводит к равенству .

В результате вычисления интегралов , получаем

, откуда .

Ответ. ; где – произвольная постоянная.

Пример 6.2

Решить уравнение .

Решение

Перепишем уравнение в виде . Разделение переменных приводит к равенству . В результате вычисления интегралов получаем ,

где - произвольная положительная постоянная.

Произвольная постоянная записана в форме для удобства записи формы общего решения.

Далее, используя свойства логарифмов, из последнего равенства получаем

.

Отсюда , где .

Отрицательные и неотрицательные решения охватываются одной формулой: , - произвольная постоянная.

Ответ. ; - произвольная постоянная.

Если ДУ первого порядка записано в виде (6.20), то оно будет уравнением с разделяющимися переменными, если функции и можно представить в виде произведений

, ,

в которых сомножители зависят только от одной переменной. Тогда уравнение (6.20) перепишется в следующей форме:

.

(6.25)

Деля уравнение (6.24) на произведение (предполагаем, что оно не равно нулю), получаем:

.

(6.25)

Заметим, что в уравнении (6.25) множитель перед — функция только одной переменной , а множитель перед — функция только одной переменной .

Уравнение (6.25) называется уравнением с разделенными переменны­ми. Общим интегралом уравнения (6.25) является соотношение

Дата добавления: 2015-07-14