Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Пример 7.2

Читайте также:
  1. E. Организм контактирует с внутренними объектами — например, воспоминаниями, эротическими фантазиями, мысленными представлениями — субъективными образами.
  2. Excel. Технология работы с формулами на примере обработки экзаменационной ведомости
  3. I. Примерный перечень вопросов рубежного контроля.
  4. II. Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу.
  5. Quot;Красный смех" Л.Н. Андреева как пример экспрессионизма в русской литературе
  6. А этот пример можно использовать учителям для переориентации поведения детей в школе. В него тоже вошли все Пять последовательных шагов.
  7. А) Примеры описания самостоятельных изданий

Исследовать на сходимость ряд .

Решение

Общий член ряда можно представить в виде

, (n = 1, 2, 3,...).

Поэтому

.

 

Отсюда

Следовательно, данный ряд сходится, и его сумма равна 1.

Пример 7.3 (геометрическая прогрессия)

Рассмотрим последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается в результате умножения предыдущего члена на одно и то же число:

, , ,..., ,... (7.4)

Последовательность (7.4) называется геометрической прогрессией [ ]. В геометрической прогрессии (7.4) первый член обозначен , число называется знаменателем прогрессии.

Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии:...

(7.5)

 

Иногда сам ряд (7.5) называют геометрической прогрессией.

Частичная сумма ряда (7.5) представляет собой сумму членов геометрической прогрессии и

вычисляется по формуле

. (7.6)

где .

Если , тогда . Следовательно, при ряд (7.5) сходится. Если , тогда . Следовательно, при ряд (7.5) расходится. Если , тогда (7.5) превращается в ряд 1 + 1 + 1 +... + 1 +.... Для такого ряда и

. Следовательно, при ряд (7.5) расходится.

При рассмотрении рядов, важным является вопрос о сходимости (расходимости). Для решения этого вопроса в примерах 7.1 и 7.2 использовалось определение сходимости. Чаще для этого используются определенные свойства ряда, которые называются признаками сходимости ряда.

 

Теорема 7.1 (необходимый признак сходимости). Если ряд (7.1) сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании , т. е.

 

(7.7)

Доказательство. Пусть ряд (7.1) сходится. Общий член ряда можно представить в виде ,откуда =

= .

Отметим, что доказанный признак является необходимым, но недостаточным, т.е. из выполнения условия (7.7) не следует, что ряд (7.1) сходится.


Дата добавления: 2015-07-14; просмотров: 101 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Первого порядка | Решение | Пример 6.5 | Задачи для самостоятельного решения | Первого по­рядка | Пример 6.8 | Дифференциальные уравнения второго порядка | Пример 7.9. | Функциональные ряды |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Второго порядка с постоянными коэффициентами| Пример 7.5

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)