Пример 7.2

Исследовать на сходимость ряд .

Решение

Общий член ряда можно представить в виде

, (n = 1, 2, 3,...).

Поэтому

.

Отсюда

Следовательно, данный ряд сходится, и его сумма равна 1.

Пример 7.3 (геометрическая прогрессия)

Рассмотрим последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается в результате умножения предыдущего члена на одно и то же число:

, , ,..., ,...

(7.4)

Последовательность (7.4) называется геометрической прогрессией [ ]. В геометрической прогрессии (7.4) первый член обозначен , число называется знаменателем прогрессии.

Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии:...

(7.5)

Иногда сам ряд (7.5) называют геометрической прогрессией.

Частичная сумма ряда (7.5) представляет собой сумму членов геометрической прогрессии и

вычисляется по формуле

.

(7.6)

где .

Если , тогда . Следовательно, при ряд (7.5) сходится. Если , тогда . Следовательно, при ряд (7.5) расходится. Если , тогда (7.5) превращается в ряд 1 + 1 + 1 +... + 1 +.... Для такого ряда и

. Следовательно, при ряд (7.5) расходится.

При рассмотрении рядов, важным является вопрос о сходимости (расходимости). Для решения этого вопроса в примерах 7.1 и 7.2 использовалось определение сходимости. Чаще для этого используются определенные свойства ряда, которые называются признаками сходимости ряда.

Теорема 7.1 (необходимый признак сходимости). Если ряд (7.1) сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании , т. е.

(7.7)

Доказательство. Пусть ряд (7.1) сходится. Общий член ряда можно представить в виде ,откуда =

= .

Отметим, что доказанный признак является необходимым, но недостаточным, т.е. из выполнения условия (7.7) не следует, что ряд (7.1) сходится.

Дата добавления: 2015-07-14