Пример 6.5

Решить задачу Коши

Решение

;

– общее решение уравнения.

Найдем частное решение, удовлетворяющее условию .

.

Подставим найденное значение: , ,

, – решение задачи Коши.

Пример 6.6. (Задача об охлаждении тела.)

Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и тем­пературой воздуха. Температура воздуха равна 20° С. Известно, что в течение 20 мин тело охлаждается от 100 до 60° С. Определить закон изменения температуры в теле в зависимости от времени I.

Решение.

Согласно условию задачи имеем:

,

где k - коэффициент пропорциональности. Разделяя переменные и интегрируя, получаем

,

что после потенцирования дает

и, следовательно,

Для определения используем начальное условие: при . Отсюда: . Поэтому

.

Коэффициент пропорциональности k определяем из дополнительного условия: при . Отсюда:

или

и, следовательно,

Итак, искомая функция

.

Дата добавления: 2015-07-14