Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Второго порядка с постоянными коэффициентами

Читайте также:
  1. II. Положительное согласование порядка и прогресса
  2. quot;ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОБЩЕСТВЕННОГО ПОРЯДКА
  3. Вести первого и второго ангелов
  4. Внимание сновидения в системе полей первого, второго и третьего внимания
  5. Геометрические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка
  6. Глава 15. Охрана законности и правопорядка

Уравнение

, (6.46)

где - заданная функция, а и - числовые (постоянные) коэффициентыназывается неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Замечание. Отметим, что в общем случае и могут быть функциями переменной . Но мы будем рассматривать только случай, когда и постоянные.

Если , то уравнение принимает вид:

. (6.47)

Уравнение (6.29) называется однородным линейным, дифференциальным уравнением второго порядка.

Теорема 6.1. (О структуре общего решения уравнения (6.45)).

Общее решение уравнения (6.45) имеет вид:

 

, (6.48)

где и - линейно независимые функции, удовлетворяющие уравнению (6.45), (т.е. являющиеся решениями этого уравнения) а и - произвольные постоянные.

Из этой теоремы следует, что для отыскания общего решения уравнения (9.45) нужно найти две функции и (линейно независимые), для которых выполняются равенства

 

, (6.49)

 

Функции и называются линейно зависимыми, если существует число такое, что для всех значений в рассмат­риваемом интервале выполняется тождественное соотношение

. (6.50)

Если такого не существует, то функции и называются линейно независимыми.

Доказательство. Докажем сначала, что (6.48) является решением дифференциального уравнения (6.47). Для этого подставим функцию (6.48) в уравнение (6.47), получим

= .

Обращение в ноль всего выражения является следствием равенства нулю выражений в круглых скобках в двух последних слагаемых, что является следствием тождеств (6.49).

Следовательно, выражение (6.48) является решением уравнения (6.47), и поскольку это решение содержит две произвольные постоянные, то оно является общим решением однородного уравнения (6.47). Теорема доказана.

Отметим, что требование линейной независимости функций и является обязательным. Действительно, предположим, что функции линейно зависимы. Тогда из равенства (6.50) следует, что . Подставим последнее равенство в решение (6.48), получим =

= . Если обозначить , тогда полученное решение примет вид , Эта функция, конечно, будет решением уравнения (6.47), однако это решение не является общим, так как содержит одну произвольную постоянную.

Пусть в линейном однородном уравнении (6.47) и - постоянные действительные числа.

Частное решение уравнения (6.47) будем искать в виде функции

. (6.51)

где - действительное или комплексное число, подлежащее опреде­лению. Дифференцируя по выражение (6.51) , получим:

 

, . (6.52)

Внося выражения (6.51) и (6.52) в уравнение (6.47), будем иметь:

. (6.53)

Отсюда, учитывая, что , имеем:

. (6.54)

 

Алгебраическое уравнение (6.54) называется характеристическимуравнением однородного уравнения (6.47). Характеристическое уравне­ние и дает возможность найти . Уравнение (6.54) есть уравнение вто­рой степени и потому имеет два корня. Обозначим их через и . Возможны три случая.



1) Корни и действительные и различные ( ).В этом случае по формуле (6.51) получим два частных решения уравнения (6.47) , , которые являются линейно независимыми. Действительно, если бы эти решения были линейно зависимы, то в интервале должно было бы выполняться тождество ( и одновременно не нули) или тождество . Отсюда , что невозможно, так как справа в последнем тождестве постоянное число, а слева функция переменной . По теореме 6.1 общее решение уравнения (6.47) будет

.


Дата добавления: 2015-07-14; просмотров: 316 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Первого порядка | Решение | Пример 6.5 | Задачи для самостоятельного решения | Первого по­рядка | Пример 6.8 | Пример 7.5 | Пример 7.9. | Функциональные ряды |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Дифференциальные уравнения второго порядка| Пример 7.2

mybiblioteka.su - 2015-2020 год. (0.008 сек.)