Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Геометрические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка

Читайте также:
  1. II. Положительное согласование порядка и прогресса
  2. II. Цели, задачи, направления и формы деятельности
  3. III. Задачи, решаемые организацией с помощью ИСУ и ИТУ.
  4. quot;ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОБЩЕСТВЕННОГО ПОРЯДКА
  5. Второго порядка с постоянными коэффициентами
  6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЫЧНЫХ дифФеренцИальнЫх УРАВНЕНИЙ

 

В задачах геометрии, в которых требуется найти уравнение кривой по заданному свойству ее касательной, нормали или площади криволинейной трапеции, используется геометрическое истолкование производной (угловой коэффициент касательной) и следующие общие формулы для определения длин отрезков касательной t, нормали n, подкасательной St и поднормали Sn:

При решении таких задач с помощью дифференциальных уравнений рекомендуется следующая последовательность действий:

1. выполнить чертеж и ввести обозначения;

2. отделить условия, имеющие место в произвольной точке искомой линии, от условий, выполняющихся лишь в отдельных точках (начальных условиях);

3. выразить все упомянутые в задаче величины через координаты произвольной точки и через значения производной;

4. по условию задачи составить дифференциальное уравнение, для которого искомая кривая является интегральной кривой.

Задача№9.Найти линию, проходящую через точку M0 и обладающую тем свойством, что в любой ее точке M касательный вектор с концом на оси OY имеет проекцию на ось OY, равную a.

M0(e,0), a=1.

Решение.Ищем функцию y=y(x). Воспользуемся геометрическим свойством производной: y/ представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции (с положительным направлением оси OX), т.е. . Найдем

.

С другой стороны (из треугольника AMN):

.

Тогда

.

Решая это уравнение, найдем, что

.

Подставим M0(e;0) и a=1: 0=-1+c, отсюда c=1. Тогда линия, проходящая через точку M0 удовлетворяющая условиям нашей задачи, будет иметь вид

.

 

 


Дата добавления: 2015-07-14; просмотров: 381 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Уравнения с разделяющимися переменными | Однородные уравнения первого порядка | Линейные уравнения первого порядка | Уравнение Бернулли | Уравнения в полных дифференциалах | метод неопределенных коэффициентов |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Метод изоклин| Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

mybiblioteka.su - 2015-2020 год. (0.006 сек.)