Геометрические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка

В задачах геометрии, в которых требуется найти уравнение кривой по заданному свойству ее касательной, нормали или площади криволинейной трапеции, используется геометрическое истолкование производной (угловой коэффициент касательной) и следующие общие формулы для определения длин отрезков касательной t, нормали n, подкасательной S_t и поднормали S_n:

При решении таких задач с помощью дифференциальных уравнений рекомендуется следующая последовательность действий:

1. выполнить чертеж и ввести обозначения;

2. отделить условия, имеющие место в произвольной точке искомой линии, от условий, выполняющихся лишь в отдельных точках (начальных условиях);

3. выразить все упомянутые в задаче величины через координаты произвольной точки и через значения производной;

4. по условию задачи составить дифференциальное уравнение, для которого искомая кривая является интегральной кривой.

Задача№9. Найти линию, проходящую через точку M₀ и обладающую тем свойством, что в любой ее точке M касательный вектор с концом на оси OY имеет проекцию на ось OY, равную a.

M₀(e,0), a=1.

Решение.Ищем функцию y=y(x). Воспользуемся геометрическим свойством производной: y^/ представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции (с положительным направлением оси OX), т.е. . Найдем

.

С другой стороны (из треугольника AMN):

.

Тогда

.

Решая это уравнение, найдем, что

.

Подставим M₀(e;0) и a=1: 0=-1+c, отсюда c=1. Тогда линия, проходящая через точку M₀ удовлетворяющая условиям нашей задачи, будет иметь вид

.

Дата добавления: 2015-07-14