Метод изоклин

Задача№8 для данного дифференциального уравнения построить интегральную кривую, проходящую через точку М.

.

Для решения подобной задачи можно также применить метод изоклин. Изоклиной уравнения называется всякая кривая, определяемая уравнением f(x,y)=k при фиксированном k, где k=tgα=y^’.

Решение. Для приближенного (графического) решения нашего уравнения построим на плоскости изоклины для нескольких значений k. (Существование и единственность заданного дифференциального уравнения следует из того, что f(x,y)=x+2y и непрерывны всюду на плоскости XOY).

Т.к. поле направлений исходного уравнения:

Тогда уравнения изоклин будут

.

Исследуем вид правой части заданного уравнения:

1. найдем линию экстремумов.

, отсюда .

Полученная прямая является линией экстремумов. (Непосредственной подстановкой убеждаемся, что она не является решением нашего уравнения).

когда . Значит интегральные кривые убывают до пересечения с прямой . когда . Следовательно, кривые возрастают после пересечения с прямой .

Значит, сама прямая является линией минимумов.

2. Найдем линию перегибов.

, т.е. или . Тогда . Отсюда .

Но, т.к. эта прямая является решением исходного уравнения, то она не может быть линией перегибов. А из того, что если и если следует, что вогнутые интегральные кривые расположены выше этой прямой, а выпуклые – ниже.

Составим таблицу.

k	-1/2
Изоклины
				arctg4	arctg5

На поле направлений совпадает с самой прямой. Точка М(1,2) принадлежит изоклине . (Читателю будет полезно сравнить приближенное решение с точным, решив дифференциальное уравнение самостоятельно.)

Дата добавления: 2015-07-14