Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Уравнения с разделяющимися переменными

Читайте также:
  1. I. Азбука квадратного уравнения
  2. Анализ уравнения Лэнгмюра
  3. Выбор переменной: может быть, мы пользуемся "не теми" переменными?
  4. Дифференциальные уравнения
  5. Дифференциальные уравнения
  6. Дифференциальные уравнения
  7. Дифференциальные уравнения

Министерство образования рф

Орловский государственный технический

Университет

Факультет электроники и приборостроения

кафедра «высшая математика»

Т.А. Павлова

Методические указания

К выполнению типового расчета

По высшей математике

Дифференциальные уравнения

Орел 2003

Автор: ассистент кафедры «высшая математика» Т.А. Павлова

 

Рецензент: профессор, д.т.н. В.А. Гордон

 

аннотация

 

Методические указания по выполнению типового расчета, проведению практических занятий и самостоятельной работе студентов по теме: «Дифференциальные уравнения», предназначены для студентов I курса ОрелГТУ всех специальностей, выполняющих во втором семестре типовой расчет «Дифференциальные уравнения» и контрольную работу «Дифференциальные уравнения первого порядка».

Автором рассмотрены уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные уравнения, уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах и уравнения высших порядков; указаны основные методы их решений.

 

Редактор

Инженер по маркетированию и верстке

 

Подписано к печати. Формат 60х84 1/16.

Печать офсетная. Усл. печ. л.. Тираж экз. Заказ №

Отпечатано с готового оригинала – макета

На полиграфической базе ОрелГТУ,

 

г. Орел, ул. Московская, 65.

 

 

ОрелГТУ, 2003-02-22

Павлова Т.А.

 

 

содержание

 

уравнения с разделяющимися переменными 4

однородные уравнения 1-го порядка 4

линейные уравнения 1-го порядка 6

уравнение Бернулли 9

уравнения в полных дифференциалах 10

метод изоклин 11

геометрические задачи, приводящие к решению

дифференциальных уравнений 1-го порядка 12

дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 13

линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 15

метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) 18

литература 20

 

уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения вида:

(1)

называются уравнениями с разделяющимися переменными. Решая такие уравнения, необходимо преобразовать их так, чтобы одна часть уравнения содержала только переменную у, а другая - только х, а затем проинтегрировать обе части (по у и по х соответственно).

Например, уравнение (1) надо разделить на , тогда получим . Проинтегрировав обе части, найдем общий интеграл:

. (2)

Кроме найденного общего интеграла (2) уравнению (1) могут также удовлетворять решения, получаемые из уравнения . Если эти решения не входят в общий интеграл (2), то они будут особыми решениями уравнения (1).

Приведем примеры решения конкретного уравнения этого типа.

Задача №1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения (ответ представить в виде y(х, у)=с).

1.31 .

Решение. Уравнение представлено в дифференциальной форме. Для разделения переменных перенесем все слагаемые в одну часть уравнения и сгруппируем содержащие dx и dy:

Разделим обе части уравнения на , получим

.

Почленно интегрируя, получим искомый общий интеграл:

.

В первообразных модули можно опустить, т.к. 1+х2 и 4+у2 величины всегда неотрицательные.

Умножая обе части уравнения на 2 и учитывая свойства логарифма, получим

.

В нашем примере уравнение представлено в дифференциальной форме. Возможны случаи, когда уравнение разрешено относительно производной, т.е. оно имеет вид и, когда не разрешено относительно производной - .

Например, для первого случая . В таких задачах нужно учитывать, что . Тогда, .

Пример ко второму случаю: . Уравнение можно разрешить относительно производной и, таким образом, придем к первому случаю.

 


Дата добавления: 2015-07-14; просмотров: 107 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Линейные уравнения первого порядка | Уравнение Бернулли | Уравнения в полных дифференциалах | Метод изоклин | Геометрические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка | Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка | метод неопределенных коэффициентов |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Линейные неоднородные ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.| Однородные уравнения первого порядка

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)