Уравнение Бернулли. Уравнение вида , (6)

Уравнение вида , (6)

где α - любое действительное число (α≠0,α ≠1) называется уравнением Бернулли.

Преобразование уравнения в линейное будем проводить в следующей последовательности:

1. умножим обе части уравнения на ;

2. введем подстановку , отсюда и ;

3. решаем получившееся линейное уравнение;

4. возвращаемся к искомой функции, заменяя на .

Задача №6. Найти решение задачи Коши:

6.31 .

Решение. Поделив обе части уравнения на , увидим, что это уравнение Бернулли:

.

Введем новую переменную . Тогда, или . Наше уравнение примет вид - линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решая его любым способом, рассмотренным в задаче №5, получим или . Тогда - общее решение исходного дифференциального уравнения.

Определим произвольную постоянную c используя начальное условие:

.

Решением задачи Коши будет являться

.

Замечание. В начале нашего решения мы обе части уравнения делили на x≠0 и могли, таким образом, потерять решение уравнения. Подставляя x=0 в исходное уравнение, убеждаемся, что оно не является его решением.

Дата добавления: 2015-07-14