Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Сформулировать определения:

1) Дифференциальное уравнение первого порядка. (Я)

Уравнение F(x, y, y ') = 0, связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию y(x) и ее производную y'(x) называется дифференциальным уравнением первого порядка.

F(x, y, y ') = 0 или y' = ƒ(x,y).

Интегральная кривая.

Решением(интегралом) дифференциального уравнения первого порядка является любая функция y = ϕ(x), которая при подстановке обращает его в верное тождество.

Интегральная кривая - график решения дифференциального уравнения(y = ϕ(x)).

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Частное решение дифференциального уравнения первого порядка.

Частное решение(частный интеграл) дифференциального уравнения первого порядка называется решение общего интеграла при конкретном значении С. Частное решение находится, если задано начальное условие y(x₀) = y₀.

Каждому частному решению соответствует одна интегральная кривая, проходящая через точку x₀,y₀.

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y = ϕ(x, C), где С - произвольная постоянная.

Общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка.

Общее решение, записанное в неявном виде: Ф(x,y,C) = 0 - общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка.

Задача Коши.

Задача Коши - нахождение частного решения или частного интеграла соответствующего заданному начальному условию.

Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах.

Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах называется уравнение вида: P(x,y)dx+Q(x,y)dy = 0, если существует такая функция двух переменных u(x,y) с частными производными, что справедливо выражение du(x,y) = P(x,y)dx+Q(x,y)dy. Общее решение уравнения: u(x,y) = C.

Дифференциальное уравнение P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 будет являться уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, если справедливо равенство: dQ/dx = dP/dy.

8) Однородное дифференциальное уравнение первого порядка. (МАША)

Однородным дифференциальным уравнением первого порядка, называется уравнение, имеющее вид

(7)

Подстановка ; ; , где преобразует это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

,

,

.

Замечание. Функция называется однородной степени , если , где - некоторая константа. Например, функция является однородной функцией степени два, поскольку

.

А функция является однородной функцией нулевой степени однородности, так как

.

Поэтому общий вид однородного дифференциального уравнения часто записывают как

,

---

Дата добавления: 2015-07-12