Признак Вейерштрасса равномерной и абсолютной сходимости.

2) Свойства равномерно сходящихся рядов. 1. Сумма S (x) равномерно сходящегося ряда в области Х, где u_n (x) (n = 1, 2, 3, …) - непрерывные функции, является непрерывной функцией в области Х.

2. Равномерно сходящийся ряд , где u_n (x) (n = 1, 2, 3, …) -непрерывные функции, можно почленно интегрировать, т.е. справедливо равенство

. (26)

3. Если ряд

,

составленный из функций, имеющих непрерывные производные , сходится в области C и его сумма равна S (x), а ряд из производных сходится в этой области равномерно, то производная суммы ряда равна сумме ряда из производных:

. (27)

Коротко эту теорему формулируют так:

Если ряд, составленный из производных сходящегося ряда (27), сходится равномерно, то исходный ряд (24) можно почленно дифференцировать.

Отметим: здесь не предполагаются равномерная сходимость исходного ряда, а также дифференцируемость его суммы; они следуют из условий теоремы. Однако проверка равномерной сходимости ряда является обязательной; при невыполнении этого теорема может потерять смысл (т.е. оказаться неприменимой).

Дата добавления: 2015-07-12