Разложение периодической функции с периодом L.

Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.

Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид:

Где коэффициенты ряда Фурье:

Однако чаще приведенную выше формулу приводят к зависимости от х. Поскольку u=2πх/L, значит, du=(2π/L)dx, а пределы интегрирования - от -L/2 до L/2 вместо - π до π. Следовательно, ряд Фурье для зависимости от х имеет вид

где в диапазоне от -L/2 до L/2 коэффициенты ряда Фурье,

Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)

6. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СВОЙСТВА, ВЫЧИСЛЕНИЕ, ПРИЛОЖЕНИЕ.(АРТЕМ)

Сформулировать определения:

Определение:

Двойным интегралом от функции по ограниченной замкнутой области D называется предел интегральной суммы, построенной для функции при неограниченном увеличении числа разбиений области Dна ячейки ( ) и при стягивание каждой ячейки в точку ( ), если такой предел существует и не зависит от способа разбиения области D на ячейки, ни от выбора в каждой из них.

Теорема существования:

Для всякой непрерывной функции в ограниченной замкнутой области существует двойной интеграл:

Геометрический смысл двойного интеграла:

Пусть тело P в пространстве ограниченно сверху графиком непрерывной и неотрицательной функции z = f(x, y), определенной в области D, цилиндрической поверхностью, направляющей которой служит граница области D, а образующие параллельны оси Oz, и областью D, лежащей в плоскости Oxy. Тело такого вида называют криволинейным цилиндром (цилиндроидом). Двойной интеграл численно равен объему цилиндроида.

Физический смысл двойного интеграла:

объем трехмерного тела в координатах f, x1, x2, ограниченного плоскостью f=0, пределами интегрирования по x1 и по x2 (пределы по x1, x2 также могут быть переменными) и поверхностью, задаваемой в этих координатах функцией f(x1,x2).

Свойства двойных интегралов

1. Линейное свойство

.

2. Если функции f (x, y) и g (x, y) интегрируемы в области D, то их алгебраическая сумма также интегрируема в этой области и

3. Аддитивное свойство по области интегрирования

.

4. Теорема о среднем. Если функция f (x, y) непрерывна в области D, то в этой области найдется такая точка (ξ; μ), что

,

где s — площадь фигуры D.

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Область D называется правильной относительно оси Ох, если прямая, параллельная этой оси, проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает границу области в двух точках. Аналогично определяется правильная область относительно оси Оу.

Рисунок 2. Рисунок 3.

Рисунок 2 - Область, правильная, относительно оси Оу Рисунок 3 - Область, правильная, относительно оси Ох

Область D, правильную относительно как Ох, так и Оу, называют просто правильной областью.

Если область D - правильная относительно Оу (рисунок 2), двойной интеграл вычисляется по формуле:

Правую часть формулы (8) называют повторным (двукратным) интегралом. Вычисление повторного интеграла начинаем с вычисления внутреннего интеграла.

в котором переменную х надо принять при интегрировании за постоянную величину. После подстановки пределов интегрирования в первообразную получаем некоторую функцию, зависящую от х, которую затем интегрируем на отрезке [a,b].

Если область D является правильной относительно оси Ох (рисунок 3), двойной интеграл вычисляется по формуле:

Если область D - просто правильная, можно применять как формулу (8), так и формулу (9). При этом переход от одной формулы к другой называют изменением порядка интегрирования.

Сам процесс перехода от двойного интеграла к повторному и расстановка пределов интегрирования для внешнего и внутреннего интегралов называют приведением двойного интеграла к повторному.

Правило расстановки пределов.

В пределах внутреннего интеграла (интеграла по первой переменной) в общем случае стоят функции второй переменной.

В пределах внешнего интеграла (по второй переменной) стоят постоянные числа. В результате вычисления двойного интеграла получается некоторое постоянное число.

Если область не является правильной ни относительно оси Ох, ни относительно оси Оу, её разбивают на конечное число областей , правильных относительно одной из осей и при вычислении применяют свойство 2.

Пример 1.

Вычислить двойной интеграл

двумя способами, если граница области D задана уравнениями:

Решение 1, а

Построив кривые, получим область D (рисунок 4). Область правильная. Применим формулу (8). При этом уравнение верхней границы области х=у2 преобразуем к виду :

Рисунок 4.- область интегрирования к примеру 1,а

Рисунок 5.- область интегрирования к примеру 1,b

Изменим порядок интегрирования и применим формулу (9):

Решение 1, b

Область D построена на рисунке 5. Область D правильная. Выбираем для интегрирования формулу (9):

Изменим порядок интегрирования. При этом нижняя граница области D задана двумя аналитическими выражениями . В этом случае область D нужно разбить на две области Dl, D2 с помощью прямой, проходящей по оси Оу. На основании свойства 2 двойного интеграла получаем:

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах:

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют тоже правило сведения его к двукратному интегралу.

Если область ограничена лучами и , где и кривыми и , где , т.е. область правильная, то:

Пример:

Вычислить , где область – круг

Перейдем из декартовой системы координат в полярную:

Область в полярной системе координат определяется неравенствами .

Область – круг, преобразовывается в область - прямоугольник. Поэтому:

Приложения двойного интеграла:

1)Объем тела:

, где – уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

2)Площадь плоской фигуры:

– в декартовой системе координат

– в полярной системе координат

3)Масса плоской фигуры:

4)Статические моменты:

– относительно оси

– относительно оси

5)Момент инерции плоской фигуры

– относительно оси

– относительно оси

7. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СВОЙСТВА, (НИНА) ВЫЧИСЛЕНИЕ.

Сформулировать определения:

1) Тройной интеграл.

2) Тройным интегралом от функции f(x, y, z ) по области V называется конечный предел трехмерной интегральной суммы при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму (если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области V на элементарные части, ни от выбора точек на каждой из этих элементарных частей):

Сформулировать теоремы и свойства:

1) Теорема о существовании тройного интеграла.

Если функция f (x, y, z) непрерывная в замкнутой области V, то существует.

2) Физический смысл тройного интеграла.

Если f (x, y, z) > 0 в области G, то тройной интеграл представляет массу тела, занимающего область G и имеющего переменную плотность . Объем тела, занимающего пространственную область G находится по формуле

3) Свойства тройных интегралов.

1. Тройной интеграл от обозначения переменных интегрирования не зависит, т.е.

4)

и т.д.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак тройного интеграла:

5)

где k – число. Замена переменных для интегралов Найти уравнение гиперболы Электромагнетизм Радиорелейные системы

3. Тройной интеграл от суммы двух функций равен сумме соответствующих интегралов от слагаемых:

6)

4. Если область V разбита на две области V1 и V2, то

7)

Примечание. Свойства 3 и 4 верны для любого фиксированного числа слагаемых.

5. Если в области V

8)

6. Если в области V

9)

то

10)

7.

11)

8. Теорема о среднем. Если функция непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует точка , такая, что

12)

где V – объем данной области.

4) Вычисление тройных интегралов в прямоугольных декартовых координатах.

Вычисление тройного интеграла сводится к вычислению трехкратного интеграла.

5)

В декартовых координатах область V, правильная в направлении оси OZ, записывается системой неравенств

,

где D – это проекция области V на плоскость XOY, а поверхности и ограничивают область V соответственно снизу и сверху (Рис. 6).

Если двумерную область D также записать системой неравенств , то трехмерная область V запишется системой трех неравенств

Тогда тройной интеграл сводится сначала к двойному, а затем к трёхкратному с учётом того, что в декартовых координатах dV = dx × dy × dz;

формула сведения тройного интеграла к трехкратному интегралу имеет следующий вид:

6) Вычисление тройных интегралов в цилиндрических координатах.

Цилиндрические координаты точки в пространствеXOYZ — это ее полярные координаты в плоскости XOY и координата z.

Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами:

Границы изменения цилиндрических координат для всех точек пространства: или

Перевод тройного интеграла к цилиндрическим координатам и сведение его к повторному трехкратному интегралу осуществляется следующими действиями:

объем V, правильный в направлении оси OZ, проектируется в область и записывается системой неравенств:

;

далее область записывается неравенствами в полярной системе координат (Рис. 7) и составляется бесконечно малый элемент плоской области в полярных координатах:

, ;

в подынтегральной функции и в пределах интегрирования по z делается переход к переменным и :

Если выполнить все указанные подстановки, то получится формула вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах:

(2)

Таким образом, бесконечно

7) Вычисление тройных интегралов в сферических координатах.

Сферические координаты точки М пространства XOYZ определяются следующим образом (Рис. 8):

r — расстояние точки M от начала координат (длина радиус-вектора точки); r называют сферическим радиусом точки; q — угол между радиус-вектором и положительным направлением оси OZ;

j — угол между положительным направлением оси OX и проекцией радиус-вектора на плоскость XOY, отсчитываемый против часовой стрелки (полярный угол).

Границы изменения сферических координат для всех точек пространства:

или ,

Связь сферических и декартовых координат (выводится геометрически):

 

Замена переменных в тройном интеграле осуществляется в общем случае по формуле, аналогичной формуле замены переменных в двойном интеграле. В частности, при переходе к сферическим координатам эта формула имеет вид:

,

I — это функциональный определитель Якоби третьего порядка:

, так как поэтому .

Таким образом, .

Бесконечно малый элемент объема в сферических координатах имеет вид: ;

формула перевода тройного интеграла к сферическим координатам имеет вид:

(3)

Далее тройной интеграл сводится к трехкратному в соответствии с неравенствами для области V в сферических координатах.

Эффективно переводить в сферические координаты тройной интеграл по областям, в границах которых есть сфера.

8) Приложения тройных интегралов.

1. Вычисление объёма тела:

9)

2. Вычисление массы тела переменной плотности γ (x; y; z):

10)

3. Координаты центра тяжести тела с постоянной плотностью:

11)

4. Координаты центра тяжести тела с переменной плотностью γ (x; y; z):

12)

7*. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ I и II РОДА.(ЖЕКА)

Сформулировать определения:

Дата добавления: 2015-07-12