Ряды Фурье.

1)Сформулировать определения:

.Тригонометрический ряд.

В математике, тригонометрический ряд — это любой ряд вида:

Тригонометрический ряд называется рядом Фурье функции , если коэффициенты и определяются следующим образом:

где — это интегрируемая функция.^[1]

Не каждый тригонометрический ряд является рядом Фурье.

.Ряд Фурье.

Ряд Фурье — представление произвольной функции с периодом в виде ряда.

Сформулировать теоремы и свойства:

2) Разложение функций в ряд Фурье на промежутке [-π, π].

Теорема Дирихле: Если функция f(x) непрерывна или имеет конечное число точек разрыва на отрезке [-π, π] и при этом монотонна или имеет конечное число экстремумов на [-π, π], то ряд Фурье функции f(x) сходится для любых x из [-π, π] и его сумма равна:

1)f(x) для всех точек непрерывности х из интервала [-π, π]

2) для всех точек разрыва

3) при х= и х=

3) Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье на промежутке [-π, π].

Пусть f (x) - четная функция с периодом 2 L, удовлетворяющая условию f (- x) = f (x).

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

=

=

b_n= 0, где n =1,2,...

Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2 L выглядит так:

Пусть теперь f (x) - нечетная функция с периодом 2 L, удовлетворяющая условию f (- x) = - f (x).

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

, где n =1,2,...

Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2 L выглядит так:

Дата добавления: 2015-07-12