Функциональные ряды. Степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды.

Сформулировать определения:

1) Функциональный ряд. Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция . Выражение

(1) называется функциональным рядом относительно переменной х.

2) Область сходимости функционального ряда. Совокупность всех значений переменной х, для которых ряд (1) сходится, называется областью сходимости данного функционального ряда.

3) Сумма функционального ряда. Если значение х ₀ переменной х принадлежит области сходимости функционального ряда (1), то можно говорить о сумме этого функционального ряда в точке х = x ₀:

u ₁(x ₀) + u ₂(x ₀) +... + u ₂(x ₀) + u_n (x ₀) +... =S (x ₀).

Таким образом, значение суммы функционального ряда зависит от значения x ₀ переменной х, т.е. сумма функционального ряда сама является функцией переменной х. Областью определения суммы функционального ряда является область сходимости этого ряда.

4) Равномерно сходящийся функциональный ряд. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в некоторой области Х, если для любого сколь угодно малого числа > 0 можно указать такое целое число N () > 0, зависящее только от e и не зависящее от х, что при всех n > N () неравенство выполняется для всех х из области Х.

5) Степенной ряд. Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

6) Радиус сходимости степенного ряда. Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.

Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.

Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера:

Дата добавления: 2015-07-12