Дифференциальные уравнения. Поведение СИ в динамическом режиме может быть описано с помощью линейного

Поведение СИ в динамическом режиме может быть описано с помощью линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

.

Коэффициенты a_i характеризуют динамические свойства средства измерения. При их равенстве нулю получаем случай идеального СИ (y (t) = k _ном x (t)).

Для рассмотрения динамического режима примем, что существует лишь динамическая погрешность, а статическая равна нулю: ∆ y (t) = ∆ y _дин(t) = y (t) – y _и(t). В общем случае тогда

.

На практике применение метода дифференциальных уравнений осложняется тем, что неизвестны аналитические выражения для y (t), коэффициенты a_i и достаточный для описания порядок уравнения n.

Приближение аналитического выражения y (t) по графику { x (t), y (t)} дает достаточно серьезные погрешности описания.

Поэтому обычно считают

,

где y _с(t) называется свободной составляющей, соответствующей переходному режиму (режиму свободных колебаний); y _в(t) — вынужденной составляющей, соответствующей установившемуся режиму (режиму вынужденных колебаний).

(Рассматривают динамический режим отдельно для переходного и отдельно — для установившегося режима работы средства измерения. Тогда общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения может быть представлено в виде суммы свободной и вынужденных составляющих.)

Как правило, СИ обладает свойством устойчивости, то есть, колебательный режим рано или поздно заканчивается:

.

Тогда при t → ∞ остаются лишь вынужденные колебания:

y (t) = y _в(t).

Исходя из такого подхода, определяют параметр t _у — (условное) конечное время установления вынужденных колебаний (время установления показаний).

Другой проблемой является подбор достаточной степени дифференциального уравнения. Зачастую описание всего СИ требует очень высоких порядков ДУ. Поэтому на практике СИ разбивают на ряд динамических звеньев (ДЗ), описываемых ДУ порядка не выше 2:

Динамическое звено первого порядка

Описывается дифференциальным уравнением

где a ₁ = T ₁ называют постоянной времени динамического звена.

где ω ₀ — граничная частота.

Оценим максимальное значение погрешности для ДЗ первого порядка, предположив следующее.

1. Диапазон изменения входного сигнала органичен.

2. Входной сигнал x (t) ограничен по диапазону значений и лежит в интервале ± x _m.

3. Спектр сигнала x (t) ограничен некоторой частотой ω _m.

Из уравнения получим

.

Максимальная погрешность по входу равна

.

Согласно неравенству Бернштейна,

где k _m — максимальное значение коэффициента передачи. Для динамического звена первого порядка k _m = k _ном.

Тогда получим

.

Максимальное значение приведенной погрешности

, (1)

где воспользовались тем, что x лежит в диапазоне ± x _m (длины 2 x _m).

Вывод: важным является отноение между полным спектром сигнала ω _m и граничной частотой СИ ω ₀.

Динамическое звено второго порядка

Описывается дифференциальным уравнением

где сразу переобозначим коэффициенты:

.

Фактически, это уравнение колебаний с затуханием при приложенном к системе воздействии k _ном x (t). Здесь ω ₀ — частота собственных колебаний ДЗ, β — степень успокоения (коэффициент демпфирования).

Из уравнения следует

.

При предположениях, аналогичных выдвинутым при рассмотрении ДЗ первого порядка, и аналогичных же рассуждениях, получим

.

Минус: как правило, значения k _m неизвестны (поскольку k _m может быть как меньше, так и больше k _ном). В этом случае k _m допускается определять из анализа амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), графически.

Рассмотрим один из вариантов. Пусть β ≤ 0,7, тогда k _m ≤ k _ном. И в этом случае для максимальной приведенной погрешности можно записать

. (2)

Оценки (1) и (2) дают завышенные результаты, поэтому пользоваться ими имеет смысл только при малых значениях отношения .

Важный вывод: данный метод используется для оценки динамической погрешности в установившемся режиме для сигнала x (t) с органиченным спектром. Однако при подаче сигнала на вход СИ, в некоторый момент времени входное воздействие имеет неограниченный спектр. Тогда используется анализ при помощи переходных и импульсно-переходных характеристик.

Дата добавления: 2015-07-14