Начальные сведения из теории вероятностей и математической статистики

Пусть произведено n опытов, и в m из них наступило событие A. Величина

называется частотой (относительной частотой) наступления события A.

С учетом этого определения вероятность (статистическую вероятность) события A можно определить как предел

.

При достаточно больших n можно величину f принять за оценку вероятности P^*(A).

Множество всевозможных исходов опыта обозначается Ω; событие A является подмножеством этого множества. Функция X, сопоставляющая каждому элементарному событию ω Î Ω вещественное число — результат исхода, называется случайной величиной.

Для характеристики случайных величин, полученных при эксперименте, часто строят гистограмму. Предполагаемую область значений x случайной величины X делят на некоторое количество интервалов (не обязательно одинаковых). Пусть — интервалы на прямой, называемые интервалами группировки. Обозначим для через ν _i число элементов выборки, попавших в интервал A_i (). На каждом из интервалов A_i построим прямоугольник, площадь которого пропорциональна ν _i. Общая площадь всех прямоугольников должна равняться единице. Пусть l_i — длина интервала A_i. Высота f_i прямоугольника над A_i равна

.

Полученная фигура и называется гистограммой.

Число интервалов группировки обыкновенно выбирается по формуле Стерждесса:

.

Пример гистограммы:

По гистограмме можно приближенно судить о вероятности того, что значение случайной величины X находится в заданном интервале. Например:

.

Для аналитического описания распределения случайной величины используется понятие интегрального закона распределения. Функцией распределения F (x) называется

где W (x) носит название плотности распределения (плотности вероятности). По определению

или, что то же самое,

.

Плотность распределения обладает свойством нормировки:

поскольку вероятность нахождения значения случайной величины X где-нибудь на вещественной оси равна 1.

Достаточно очевидно, что гистограмма является дискретным приближением к плотности распределения. Более того, если на серединах интервалов по­строить ординаты, пропорциональ­ные частотам ν _i / n, и соединить их концы отрезками, то можно полу­чить фигуру, называемую полиго­ном распределения, который дает приближенное представление о виде кривой распределения.

Приведем примеры графиков функции распределения и плотности распределения:

Случайные величины описываются своими числовыми характеристиками. Приведем наиболее часто употребительные из них.

1. m ₁ — первый начальный момент случайной величины, или математическое ожидание, или ожидаемое значение случайной величины:

.

Физический смысл — центр группирования значения случайной величины (центр распределения).

2. m ₂ — второй начальный момент случайной величины:

.

Обычно оперируют дисперсией — вторым центральным моментом случайной величины, определяемой как

.

Эта величина характеризует степень рассеяния случайной величины относительно центра распределения M[ x ]. Дисперсию также иногда называют мощностью рассеяния.

Заметим, что дисперсия имеет размерность квадрата исходной размерности случайной величины. Устраняет этот недостаток введение среднеквадратического отклонения (СКО) . Фактически, СКО есть дисперсия в единицах случайной величины.

Свойства математического ожидания и дисперсии хорошо известны из курса теории вероятностей, поэтому заострять внимание на них не будем.

Приведем без доказательства еще один полезный факт. Если имеются две независимые случайные величины x ₁ и x ₂, распределенные с плотностями W ₁(x ₁) и w ₂(x ₂), то плотность распределения их суммы x = x ₁ + x ₂ равна

.

Эта формула называется формулой свертки и широко применяется в теории вероятностей, в частности, для проверки устойчивости распределений. (Распределение называется устойчивым, если сумма независимых величин с этим распределением, снова имеет это распределение. Устойчиво, в частности, нормальное распределение, о котором чуть позже).

Дата добавления: 2015-07-14