Обработка результатов прямых измерений

Будем считать, что систематическая погрешность убрана из ряда наблюдений либо учтена. Произведено n измерений величины x, и за действительное ее значение принимается . Рассмотрим 2 случая:

1. Дисперсия ряда наблюдений известна: , тогда

.

2. Дисперсия ряда наблюдений неизвестна. Тогда она оценивается величиной S²[ x ]. Для этого для каждого измерения определяется величина, называемая остаточной погрешностью:

.

Заметим, что

.

(Этот факт можно использовать для контроля правильности проведения эксперимента).

С учетом введенных обозначений, оценка дисперсии ряда наблюдений будет равна

.

Отсюда, оценка дисперсии действительного значения согласно п.?₅.1 равна

.

Для определения доверительных интервалов погрешности необходимо найти законы распределения для случайных величин:

1. Для первого случая —

.

2. Для второго —

.

В первой дроби случайной величиной является лишь действительное значение измеренной величины . И если результаты измерения (члены ряда наблюдений) имеют нормальное распределение, то и имеет нормальное распределение (в силу устойчивости нормального закона распределения). Таким образом, Z_p имеет нормальное распределение, причем с матожиданием 0 и дисперсией 1.

Во второй дроби случайными величинами являются и . В результате, T_p имеет распределение Стьюдента с (n − 1) степенью свободы. С увеличением числа измерений (n → ∞) оценка СКО , то есть T_p → Z_p. На практике при n > 30 можно считать T_p = Z_p.

Вывод:

1. Для первого случая результат измерения

2. Для второго случая

,

где σ [ x ] и S [ x ] — СКО ряда наблюдений и оценка СКО ряда наблюдений, соответственно.

Замечание. Если закон распределения измеряемой величины отличен от нормального, то необходимо по возможности увеличить число измерений. Если проблемы исчезают при n > 30, то можно использовать для расчетов оценку дисперсии ряда наблюдений (второй случай).

Если при анализе наблюдений возникает подозрение на промах, т.е. один или несколько результатов явно «выбиваются» из ряда наблюдений, то необходимо проверить выполнение неравенства

1. В первом случае:

где — граница доверительного интервала нормально распределенной величины для доверительной вероятности pⁿ, а x_k — величина, подозреваемая на промах.

2. Во втором случае:

где — граница доверительного интервала случайной величины τ, меющей специальное распределение, зависящее от n, при доверительной вероятности p; x_k — величина, подозреваемая на промах.

Заметим, что безграничное число наблюдений, при котором распределение Стьюдента переходит в нормальное распределение, невозможно, в частности, потому, что условия проведения измерительного эксперимента со временем изменяются.

Дата добавления: 2015-07-14