Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теорема о зажатой последовательности

Читайте также:
  1. А — частый сигнал (А), б — редкий (Б), Г — момент изменения последовательности сигналов
  2. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
  3. Вторая теорема Больцано-Коши (о промежуточных значениях непрерывной функции).
  4. Интегральная теорема Лапласа.
  5. Лекция 5. Законы сохранения. Теорема Нетер.
  6. Номера проводов указаны в той последовательности, в которой проходит ток по цепи от плюса к минусу.
  7. Ограниченность последовательности, связь с пределом
Теорема о зажатой последовательности
Если все члены трех последовательностей , и связаны неравенствами и две крайние последовательности имеют одинаковые пределы , , то средняя последовательность имеет тот же предел: .

w Рассмотрим - произвольно взятую окрестность точки а.

Тогда

при , где , будет верно, что и

поэтому весь промежуток .

Но так как , то при , ч.т.д. v

Иллюстрация к теореме приведена на рис. 18. Понятно, что теорема останется справедливой, если неравенство между членами трех последовательностей выполняется хотя бы начиная с некорого номера.

2.6. Связь сходящейся последовательности с её пределом и бесконечно малой последовательностью

Напомним, что последовательность называется бесконечно малой последовательностью (б.м.), если .

Если расписать определение конечного предела, равного нулю, то получим:

– б.м. при ,

то есть члены бесконечно малой последовательности сколь угодно мало отличаются от числа 0 при достаточно больших номерах .

Например, бесконечно малыми последовательностями являются

, , и др.

Теорема о связи сходящейся последовательности с её пределом и бесконечно малой последовательностью
Для того чтобы последовательность имела конечный предел а, необходимо и достаточно, чтобы её члены представлялись как сумма числа а и некоторой бесконечно малой последовательности: , где – б.м.

w Необходимость:

пусть при

для верно, что при

- б.м. и , то есть необходимость доказана.

Достаточность:

пусть , где - б.м.

при

т.к. , то при

, то есть достаточность доказана. v

Эту теорему ещё называют необходимым и достаточным условием существования конечного предела последовательности, или признаком сходящейся последовательности.

Иногда её принимают за определение конечного предела последовательности.

 

Примеры (на признак сходящейся последовательности)

1) ;

2) , так как – б.м.;

3)


Дата добавления: 2015-07-12; просмотров: 362 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Числовая последовательность | Предел последовательности | Примеры исследования последовательностей с точки зрения существования их предела | Определение сходящейся или расходящейся, бесконечно большой и бесконечно малой последовательности | Упражнения для самостоятельной работы | Единственность предела | Упражнения для самостоятельной работы | Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях | Основные теоремы о бесконечно больших последовательностях | Замечания |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Переход к пределу в неравенствах| Ограниченность последовательности, связь с пределом

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)