Теорема о зажатой последовательности

Теорема о зажатой последовательности

Если все члены трех последовательностей , и связаны неравенствами и две крайние последовательности имеют одинаковые пределы , , то средняя последовательность имеет тот же предел: .

w Рассмотрим - произвольно взятую окрестность точки а.

Тогда

при , где , будет верно, что и

поэтому весь промежуток .

Но так как , то при , ч.т.д. v

Иллюстрация к теореме приведена на рис. 18. Понятно, что теорема останется справедливой, если неравенство между членами трех последовательностей выполняется хотя бы начиная с некорого номера.

2.6. Связь сходящейся последовательности с её пределом и бесконечно малой последовательностью

Напомним, что последовательность называется бесконечно малой последовательностью (б.м.), если .

Если расписать определение конечного предела, равного нулю, то получим:

– б.м. при ,

то есть члены бесконечно малой последовательности сколь угодно мало отличаются от числа 0 при достаточно больших номерах .

Например, бесконечно малыми последовательностями являются

, , и др.

Теорема о связи сходящейся последовательности с её пределом и бесконечно малой последовательностью

Для того чтобы последовательность имела конечный предел а, необходимо и достаточно, чтобы её члены представлялись как сумма числа а и некоторой бесконечно малой последовательности: , где – б.м.

w Необходимость:

пусть при

для верно, что при

- б.м. и , то есть необходимость доказана.

Достаточность:

пусть , где - б.м.

при

т.к. , то при

, то есть достаточность доказана. v

Эту теорему ещё называют необходимым и достаточным условием существования конечного предела последовательности, или признаком сходящейся последовательности.

Иногда её принимают за определение конечного предела последовательности.

Примеры (на признак сходящейся последовательности)

1) ;

2) , так как – б.м.;

3)

Дата добавления: 2015-07-12